Encontre, em cada um dos itens abaixo, d/y d/x, onde y = y(x) é definida implicitamente pela equação dada:
x^3 + x^2 * y - 2 * x * y^2 + y^3 - 1 = 0

Passo 1

Então, a gente tem uma equação meio maluca que relaciona e : . Nosso objetivo aqui é encontrar , que é a derivada de em relação a . Para resolver isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica útil quando está definida de forma indireta em função de .

Passo 2

Vamos começar derivando ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então sempre que derivarmos algo que envolve , precisamos aplicar a regra da cadeia, multiplicando pela .
Derivando termo a termo:
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .

Passo 3

Juntando todas as derivadas, temos:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 5

Para isolar , dividimos ambos os lados da equação por :

Resposta

A derivada é igual a .

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