Encontre, em cada um dos itens abaixo, d/y d/x, onde y = y(x) é definida implicitamente pela equação dada:
x^3 + x^2 * y - 2 * x * y^2 + y^3 - 1 = 0

Passo 1

Então, a gente tem uma equação meio maluca que relaciona e : . Nosso objetivo aqui é encontrar , que é a derivada de em relação a . Para resolver isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica útil quando está definida de forma indireta em função de .

Passo 2

Vamos começar derivando ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então sempre que derivarmos algo que envolve , precisamos aplicar a regra da cadeia, multiplicando pela .
Derivando termo a termo:
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .

Passo 3

Juntando todas as derivadas, temos:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 5

Para isolar , dividimos ambos os lados da equação por :

Resposta

A derivada é igual a .

Exercícios relacionados

Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.
f(x) = 5 cossec(x) + cotg(x) + x^5 tg(x)
Calcule a derivada segunda de y = x * raiz(5)(2*x + 2).
Determine a equação da reta tangente a curva y = f(x) no ponto indicado: y = 1/x ; P(2, 1/2)
Usando todas as regras de derivação, derive as seguintes funçõs: f(x) = -1/2 * x^4 + 2/3 * x^3 - 1/2 * x^2 + 1/4