Encontre os campos gradientes
das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa encontrar o campo gradiente, que é representado por
. Isso faz parte do cálculo multivariável, especificamente estudando como a função muda em todas as direções. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
Passo 2
Primeiro, lembra que o gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Esse vetor é formado pelas derivadas parciais de
em relação a
e a
. Então, matematicamente, temos:
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, a função é um produto de
e
. Para derivar isso em relação a
, usamos a regra do produto, que diz que
.
-
então -
então (usando a regra da cadeia, já que a derivada de é )
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos derivando em relação a
. A derivada de
em relação a
é
(novamente, usando a regra da cadeia).
Então:
Resposta
O campo gradiente da função
é:
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