Encontre os campos gradientes das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar o campo gradiente, que é representado por . Isso faz parte do cálculo multivariável, especificamente estudando como a função muda em todas as direções. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e a .

Passo 2

Primeiro, lembra que o gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Esse vetor é formado pelas derivadas parciais de em relação a e a . Então, matematicamente, temos:

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, a função é um produto de e . Para derivar isso em relação a , usamos a regra do produto, que diz que .
  • então
  • então (usando a regra da cadeia, já que a derivada de é )
Aplicando a regra do produto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos derivando em relação a . A derivada de em relação a é (novamente, usando a regra da cadeia).
Então:

Resposta

O campo gradiente da função é:

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