Teste a série quanto a convergência ou divergência. sumn=1^infty(-1)^n n^2n^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente testar se a série converge ou diverge. Esse tipo de problema faz parte do estudo de séries infinitas, especificamente sobre convergência e divergência de séries alternadas. Para resolver, vamos precisar aplicar alguns testes de convergência, como o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série alternada tem termos que mudam de sinal, como faz aqui. Para testar a convergência desse tipo de série, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que a série converge se:
  1. é uma sequência decrescente.
  2. .

Passo 3

Vamos identificar an = n^2n^2+1 na nossa série. Temos:
Agora, vamos verificar se é decrescente e se o limite de quando vai para o infinito é zero.

Passo 4

Primeiro, calculamos o limite de limn to infty n^2n^2+1 :
limn to infty 11 + 1n^2 = 11 + 0 = 1
Dividindo o numerador e o denominador por :
Então, , que não é igual a zero.

Passo 5

Como o limite de não é zero, o Teste da Série Alternada nos diz que a série não converge. Além disso, já que a série dos valores absolutos diverge (pois se comporta como , que é uma série harmônica divergente), concluímos que a série original diverge.

Resposta

A série diverge.

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