Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente testar se a série
converge ou diverge. Esse tipo de problema faz parte do estudo de séries infinitas, especificamente sobre convergência e divergência de séries alternadas. Para resolver, vamos precisar aplicar alguns testes de convergência, como o Teste da Série Alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série alternada tem termos que mudam de sinal, como
faz aqui. Para testar a convergência desse tipo de série, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que a série
converge se:
-
é uma sequência decrescente. -
.
Passo 3
Vamos identificar
na nossa série. Temos:
Agora, vamos verificar se
é decrescente e se o limite de
quando
vai para o infinito é zero.
Passo 4
Primeiro, calculamos o limite de
:
Dividindo o numerador e o denominador por
:
Então,
, que não é igual a zero.
Passo 5
Como o limite de
não é zero, o Teste da Série Alternada nos diz que a série não converge. Além disso, já que a série dos valores absolutos
diverge (pois se comporta como
, que é uma série harmônica divergente), concluímos que a série original diverge.
Resposta
A série
diverge.
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