Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada, que é um método da análise de séries infinitas. Vamos precisar analisar os termos da série e ver se eles satisfazem as condições para aplicar esse teste.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a série é alternada. A expressão indica que os sinais dos termos vão alternando entre positivo e negativo conforme aumenta. Então, sim, a série é alternada.

Passo 3

Agora, vamos olhar para os termos sem o fator alternado: . O Teste da Série Alternada diz que a série converge se duas condições forem atendidas:
  1. Os termos são positivos.
  2. A sequência é decrescente e tende a zero quando vai para o infinito.

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição: é sempre positivo para todo natural, já que tanto o numerador quanto o denominador são positivos.

Passo 5

Agora, vamos verificar se . Calculando o limite:
Esse limite não é zero, ele é .

Passo 6

Como , a segunda condição do Teste da Série Alternada não é satisfeita. Isso significa que a série não converge pelo teste.

Resposta

A série diverge.

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