Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada, que é um método da análise de séries infinitas. Vamos precisar analisar os termos da série e ver se eles satisfazem as condições para aplicar esse teste.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a série é alternada. A expressão
indica que os sinais dos termos vão alternando entre positivo e negativo conforme
aumenta. Então, sim, a série é alternada.
Passo 3
Agora, vamos olhar para os termos sem o fator alternado:
. O Teste da Série Alternada diz que a série
converge se duas condições forem atendidas:
- Os termos
são positivos. - A sequência
é decrescente e tende a zero quando vai para o infinito.
Passo 4
Vamos verificar a primeira condição:
é sempre positivo para todo
natural, já que tanto o numerador quanto o denominador são positivos.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
. Calculando o limite:
Esse limite não é zero, ele é
.
Passo 6
Como
, a segunda condição do Teste da Série Alternada não é satisfeita. Isso significa que a série não converge pelo teste.
Resposta
A série
diverge.
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