Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
f-) y(1 + x^3) y' + x^2(1 + y^2) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Estamos lidando com uma equação diferencial de variáveis separáveis. Isso significa que conseguimos rearranjar a equação para ter todas as expressões de de um lado e as de do outro lado. Para isso, vamos precisar manipular a equação para separar as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar o termo com :
Aqui, representa a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por para isolar :
Isso facilita a separação das variáveis e .

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para separar e . Multiplicamos ambos os lados por e multiplicamos por :
Agora, temos todas as expressões de de um lado e de do outro.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equa��ão. Primeiro, o lado esquerdo:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 6

Agora, integramos o lado direito:
Aqui, fazemos outra substituição. Seja , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 7

Juntando as integrais dos dois lados, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Para isolar , vamos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
Podemos reescrever como para simplificar a expressão:
Usando propriedades dos logaritmos:

Passo 9

Eliminando os logaritmos:
Onde é uma constante positiva.

Passo 10

Finalmente, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real arbitrária.

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