Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
f-)
f-)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Estamos lidando com uma equação diferencial de variáveis separáveis. Isso significa que conseguimos rearranjar a equação para ter todas as expressões de
de um lado e as de
do outro lado. Para isso, vamos precisar manipular a equação para separar as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar o termo com
:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por
para isolar
:
Isso facilita a separação das variáveis
e
.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para separar
e
. Multiplicamos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Agora, temos todas as expressões de
de um lado e de
do outro.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equa��ão. Primeiro, o lado esquerdo:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 6
Agora, integramos o lado direito:
Aqui, fazemos outra substituição. Seja
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 7
Juntando as integrais dos dois lados, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Para isolar
, vamos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
Podemos reescrever
como
para simplificar a expressão:
Usando propriedades dos logaritmos:
Passo 9
Eliminando os logaritmos:
Onde
é uma constante positiva.
Passo 10
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real arbitrária.
Exercícios relacionados
É verdadeiro ou falso?
Se os raios de convergência de e
são
e
, respectivamente, e
, então o raio de convergência de
é
.
Se os raios de convergência de
Encontre o centro de gravidade do cubo determinado pelas desigualdades
se a densidade for proporcional
(a) ao quadrado da distância à origem;
(b) à soma das distâncias às faces do cubo que estão nos planos coordenados.
(a) ao quadrado da distância à origem;
(b) à soma das distâncias às faces do cubo que estão nos planos coordenados.
Encontre o raio
e o intervalo
de convergência da série.
;
Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(a)
(a)