É verdadeiro ou falso?
Se os raios de convergência de e são e , respectivamente, e , então o raio de convergência de é .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está perguntando. Temos duas séries de potências:
ê
ê
O enunciado nos pergunta se, ao somar essas duas séries, formando uma nova série:
o raio de convergência dessa nova série será o menor entre e , ou seja, . Para resolver isso, precisamos entender como os raios de convergência se comportam quando somamos séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o raio de convergência. O raio de convergência de uma série de potências é um número positivo que determina o intervalo em que a série converge. Se , a série converge, e se , a série diverge. O valor de pode ser encontrado usando, por exemplo, o critério da raiz ou o critério da razão.

Passo 3

Agora, vamos pensar no que acontece quando somamos duas séries de potências. Se temos duas séries com raios de convergência diferentes, digamos e , precisamos determinar qual será o raio de convergência da série resultante da soma.

Passo 4

Suponha, sem perda de generalidade, que . Isso significa que a primeira série converge para valores de tais que , enquanto a segunda converge para . Dentro do intervalo , ambas as séries convergem, então a soma também converge.

Passo 5

Agora, o que acontece fora desse intervalo? Se , a primeira série pode divergir, mesmo que a segunda ainda converja. Isso significa que, fora de , a soma das séries pode não convergir porque pelo menos uma das séries está divergindo.

Passo 6

Portanto, o raio de convergência da soma das duas séries não pode ser maior que o menor dos raios individuais. Isso porque, além de , uma das séries (a com menor raio) começa a divergir, afetando a convergência da soma.

Resposta

A afirmação é verdadeira. O raio de convergência da série é .

Exercícios relacionados

Encontre o centro de gravidade do cubo determinado pelas desigualdades se a densidade for proporcional
(a) ao quadrado da distância à origem;
(b) à soma das distâncias às faces do cubo que estão nos planos coordenados.
Encontre a massa e o centro de gravidade do sólido. O sólido cilíndrico com densidade , envolvido por e .
Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
f-)
Encontre o raio e o intervalo de convergência da série.
;