É verdadeiro ou falso?
Se os raios de convergência de
e
são
e
, respectivamente, e
, então o raio de convergência de
é
.
Se os raios de convergência de
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está perguntando. Temos duas séries de potências:
O enunciado nos pergunta se, ao somar essas duas séries, formando uma nova série:
o raio de convergência dessa nova série será o menor entre
e
, ou seja,
. Para resolver isso, precisamos entender como os raios de convergência se comportam quando somamos séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o raio de convergência. O raio de convergência de uma série de potências é um número positivo que determina o intervalo em que a série converge. Se
, a série converge, e se
, a série diverge. O valor de
pode ser encontrado usando, por exemplo, o critério da raiz ou o critério da razão.
Passo 3
Agora, vamos pensar no que acontece quando somamos duas séries de potências. Se temos duas séries com raios de convergência diferentes, digamos
e
, precisamos determinar qual será o raio de convergência da série resultante da soma.
Passo 4
Suponha, sem perda de generalidade, que
. Isso significa que a primeira série converge para valores de
tais que
, enquanto a segunda converge para
. Dentro do intervalo
, ambas as séries convergem, então a soma também converge.
Passo 5
Agora, o que acontece fora desse intervalo? Se
, a primeira série pode divergir, mesmo que a segunda ainda converja. Isso significa que, fora de
, a soma das séries pode não convergir porque pelo menos uma das séries está divergindo.
Passo 6
Portanto, o raio de convergência da soma das duas séries não pode ser maior que o menor dos raios individuais. Isso porque, além de
, uma das séries (a com menor raio) começa a divergir, afetando a convergência da soma.
Resposta
A afirmação é verdadeira. O raio de convergência da série
é
.
Exercícios relacionados
Encontre o centro de gravidade do cubo determinado pelas desigualdades
se a densidade for proporcional
(a) ao quadrado da distância à origem;
(b) à soma das distâncias às faces do cubo que estão nos planos coordenados.
(a) ao quadrado da distância à origem;
(b) à soma das distâncias às faces do cubo que estão nos planos coordenados.
Encontre a massa e o centro de gravidade do sólido. O sólido cilíndrico com densidade
, envolvido por
e
.
Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
f-)
f-)
Encontre o raio
e o intervalo
de convergência da série.
;