Encontre o centro de massa do fio dado pela curva
com a densidade
:
é o segmento de
ate
;
Passo 1
Então, a gente tem um fio que segue uma linha reta do ponto
até o ponto
. A densidade desse fio varia de acordo com a função
. Nosso objetivo é encontrar o centro de massa desse fio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração ao longo de uma curva para calcular massa e momentos. Vamos precisar parametrizar a curva, calcular a massa total e os momentos em relação aos eixos, e então determinar as coordenadas do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como
é uma linha reta de
a
, podemos usar um parâmetro
que varia de
a
para descrever qualquer ponto na curva. A parametrização fica assim:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o elemento de comprimento
. Para isso, usamos a fórmula:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
Vamos calcular a massa total
do fio usando a função densidade
:
Substituindo
e
:
Calculando a integral:
Passo 5
Agora vamos calcular o momento em relação ao eixo
, que nos ajudará a encontrar a coordenada
do centro de massa:
Substituindo
e
:
Calculando a integral:
Passo 6
Agora vamos calcular o momento em relação ao eixo
, que nos ajudará a encontrar a coordenada
do centro de massa:
Substituindo
,
e
:
Calculando a integral:
Resposta
O centro de massa do fio está nas coordenadas:
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