Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
sumn=1^infty x^n2 n.

Passo 1

Vamos entender o enunciado: precisamos encontrar o intervalo de convergência da série de potência sumn=1^infty x^n2n. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite:
limn to infty | an+1an | = limn to infty | x^n+12(n+1)x^n2n | = limn to infty | x cdot nn+1 | = |x| cdot limn to infty nn+1

Passo 3

Simplificando o limite:
limn to infty nn+1 = 1
Portanto, o limite total é |x|. Segundo o Teste da Razão, a série converge quando esse limite é menor que 1:
|x| < 1
Isso nos dá o raio de convergência de 1, e o intervalo preliminar de convergência é -1 < x < 1.

Passo 4

Agora, precisamos verificar a convergência nos pontos finais x = -1 e x = 1.
  • Para x = 1:
A série se torna:
sumn=1^infty 12n
Esta é a série harmônica multiplicada por 1/2, que diverge.
  • Para x = -1:
A série se torna:
sumn=1^infty (-1)^n2n
Esta é uma série alternada que satisfaz os critérios do Teste da Série Alternada, ou seja, os termos decrescem em valor absoluto e tendem a zero. Portanto, converge.

Resposta

O intervalo de convergência é -1 <= x < 1.

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