Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência: .
Passo 1
Vamos entender o enunciado: precisamos encontrar o intervalo de convergência da série de potência . Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite:
Passo 3
Simplificando o limite:
limn to infty nn+1 = 1
Portanto, o limite total é |x|. Segundo o Teste da Razão, a série converge quando esse limite é menor que 1:
|x| < 1
Isso nos dá o raio de convergência de 1, e o intervalo preliminar de convergência é -1 < x < 1.
Passo 4
Agora, precisamos verificar a convergência nos pontos finais x = -1 e x = 1.
Para x = 1:
A série se torna:
sumn=1^infty 12n
Esta é a série harmônica multiplicada por 1/2, que diverge.
Para x = -1:
A série se torna:
sumn=1^infty (-1)^n2n
Esta é uma série alternada que satisfaz os critérios do Teste da Série Alternada, ou seja, os termos decrescem em valor absoluto e tendem a zero. Portanto, converge.