Utilize a representação da série geométrica para obter uma representação em séries de potências para as seguintes funções. Determine o raio de convergência.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar a série geométrica para transformar a função
em uma série de potências. Além disso, precisamos descobrir qual é o raio de convergência dessa série, ou seja, até onde a série é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série geométrica. É uma soma infinita que tem a forma:
Isso é válido quando o valor absoluto de
é menor que 1 (
). Esse tipo de série é muito útil para representar funções como séries de potências.
Passo 3
Olha só a função que a gente quer representar:
Aqui, podemos ver que ela se parece muito com a forma da série geométrica. Se compararmos com a fórmula da série geométrica, percebemos que
.
Passo 4
Aplicando a série geométrica à nossa função, temos:
Agora, como nossa função é
, basta multiplicar ambos os lados da equação por
:
Passo 5
Podemos simplificar a soma ajustando o índice de
. Ao escrever
como o expoente, notamos que a série começa a partir de
:
Passo 6
Agora, sobre o raio de convergência, lembramos que a série geométrica
converge quando
. Como a nossa série é apenas essa série multiplicada por
, o raio de convergência continua o mesmo:
Resposta
A representação em série de potências da função é
e o raio de convergência dessa série é
.
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com a densidade
:
é o segmento de
ate
;
Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
.
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;
Encontre os integrais de linha sobre curvas:
, onde
é
;