Encontre os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para determinar a natureza dos pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os pontos onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, igualamos
e
a zero:
Isso ocorre quando:
Passo 6
Analisando as equações:
-
ou -
ou
Vamos considerar os casos:
-
Caso 1:
e Ponto crítico em. -
Caso 2:
e Isso leva a, mas como deve ser não negativo, apenas ou . Contudo, , então os pontos e estão na fronteira do domínio. -
Caso 3:
e Isso leva a, pontos e . -
Caso 4:
e Resolvendo o sistema:Subtraindo as duas equações:Substituindo em uma das equações:Então, pontose .
Passo 7
Agora que temos os pontos críticos, vamos determinar a natureza de cada um usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Devido à complexidade das derivadas, para simplificação, assumiremos que os pontos internos
e
serão analisados quanto ao teste do discriminante
.
Passo 8
Após calcular as segundas derivadas e o discriminante
:
-
Para
: Encontramos , indicando um ponto de sela. -
Para
e : Encontramos e , indicando máximos locais. -
Os pontos
e : Estão na fronteira do domínio e não são considerados como máximos ou mínimos locais dentro do domínio.
Resposta
A função
possui:
-
Máximos locais nos pontos
e . -
Ponto de sela em
.
Não há mínimos locais dentro do domínio considerado.
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.
Encontre o centro de massa do fio dado pela curva
com a densidade
:
é o segmento de
ate
;
Encontre os integrais de linha sobre curvas:
, onde
é
;
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com a densidade
:
é
.