Nos exercícios abaixo, verifique se a série converge absolutamente. Qual teste foi usado? .
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita: . A questão pede pra gente verificar se essa série converge absolutamente e identificar qual teste usamos para isso. Para resolver, vamos precisar entender sobre séries numéricas, convergência e os testes de convergência, como o teste da razão ou o teste da série alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dela também converge. Ou seja, precisamos verificar se converge.
Passo 3
Simplificando o valor absoluto, temos: | (-1)^n+1 2^nn^3 3^n | = 2^nn^3 3^n = (2/3)^nn^3.
Passo 4
Agora, a série ficou: sumn=1^infty (2/3)^nn^3. Para verificar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Comparação ou o Teste da Raiz.
Passo 5
Vamos optar pelo Teste da Raiz, que é útil quando temos termos elevados a uma potência. O teste da raiz nos diz que se limn to infty raiz[n]an < 1, a série converge absolutamente.
Passo 6
Aplicando o teste da raiz na nossa série: an = (2/3)^nn^3. Então, raiz[n]an = raiz[n](2/3)^nn^3 = 23 cdot 1n^3/n.
Passo 7
Agora, vamos calcular o limite: limn to infty 23 cdot 1n^3/n = 23 cdot limn to infty n^-3/n.
Sabemos que limn to infty n^1/n = 1, então n^-3/n = (n^1/n)^-3 to 1^-3 = 1.
Passo 8
Portanto, o limite fica: 23 cdot 1 = 23 < 1. Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Raiz, a série converge absolutamente.
Resposta
A série sumn=1^infty (-1)^n+1 2^nn^3 3^n converge absolutamente, e usamos o Teste da Raiz para determinar isso.