Encontre o centro, os vértices no eixo maior e os focos das elipses. Esboce o gráfico de cada uma delas:
(a) x^216+y^23=1
© 9 x^2-18 x+4 y^2=27
(d) 9 x^2+16 y^2-36 x+96 y+36=0
(b) x^264+y^2100=1
(e) 25 x^2+16 y^2+50 x+64 y-311=0
(f) 4 x^2+9 y^2-8 x-36 y+4=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar o centro, os vértices no eixo maior, os focos e esboçar o gráfico de várias elipses dadas pelas equações. Para isso, vamos usar o conteúdo de equações das elipses, que envolve identificar a forma padrão da equação e encontrar seus parâmetros. Vamos precisar completar quadrados quando necessário e entender um pouco sobre as propriedades das elipses.

Passo 2

Vamos começar com a alínea (a):
  1. Identificando a forma padrão:
    A equação de uma elipse na forma padrão é , onde é o centro, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.
  2. Comparando com a equação dada:
    Aqui, , , e .
  3. Encontrando o centro:
    O centro da elipse é .
  4. Determinar qual eixo é o maior:
    Como ( ), o eixo maior está no eixo .
  5. Calculando os vértices no eixo maior:
    Os vértices são e .
  6. Encontrando os focos:
    A fórmula para os focos é .
    Então, .
    Os focos estão em e .
  7. Esboçando o gráfico:
    • Centro em .
    • Vértices em e .
    • Focos em e aproximadamente.
    • A elipse se estende mais no eixo devido ao maior valor de .

Passo 3

Agora vamos para a alínea (b):
  1. Identificando a forma padrão:
    Novamente, usamos .
  2. Comparando com a equação dada:
    Aqui, , , e .
  3. Encontrando o centro:
    O centro é .
  4. Determinar qual eixo é o maior:
    Como ( ), o eixo maior está no eixo .
  5. Calculando os vértices no eixo maior:
    Os vértices são e .
  6. Encontrando os focos:
    Usamos .
    .
    Os focos estão em e .
  7. Esboçando o gráfico:
    • Centro em .
    • Vértices em e .
    • Focos em e .
    • A elipse se estende mais no eixo devido ao maior valor de .

Passo 4

Vamos para a alínea ©:
  1. Colocando a equação na forma padrão:
    Primeiro, vamos rearranjar os termos:
    Dividimos todos os termos por 27 para facilitar:
    Simplificando:
  2. Completando o quadrado para :
    Somando dos dois lados:
    Dividindo tudo por :
  3. Identificando os parâmetros:
    Agora temos a forma padrão:
    Então, , , , .
  4. Encontrando o centro:
    O centro é .
  5. Determinar qual eixo é o maior:
    , então o eixo maior está no eixo .
  6. Calculando os vértices no eixo maior:
    Os vértices são e .
  7. Encontrando os focos:
    .
    Os focos estão em e .
  8. Esboçando o gráfico:
    • Centro em .
    • Vértices em e .
    • Focos em e .
    • A elipse se estende mais no eixo .

Passo 5

Passando para a alínea (d):
  1. Rearranjando a equação:
  2. Completando o quadrado para :
    Fatoramos o coeficiente de :
    Completando o quadrado:
    Juntando constantes:
    Dividindo por 144:
  3. Identificando os parâmetros:
    , , , .
  4. Encontrando o centro:
    O centro é .
  5. Determinar qual eixo é o maior:
    , então o eixo maior está no eixo .
  6. Calculando os vértices no eixo maior:
    Os vértices são e .
  7. Encontrando os focos:
    Os focos estão em .
  8. Esboçando o gráfico:
    • Centro em .
    • Vértices em e .
    • Focos em e .
    • A elipse se estende mais no eixo .

Passo 6

Vamos para a alínea (e):
  1. Rearranjando a equação:
  2. Completando o quadrado para :
    Fatoramos:
    Completando o quadrado:
    Juntando constantes:
    Dividindo por 400:
  3. Identificando os parâmetros:
    , , , .
  4. Encontrando o centro:
    O centro é .
  5. Determinar qual eixo é o maior:
    , então o eixo maior está no eixo .
  6. Calculando os vértices no eixo maior:
    Os vértices são e .
  7. Encontrando os focos:
    Os focos estão em e .
  8. Esboçando o gráfico:
    • Centro em .
    • Vértices em e .
    • Focos em e .
    • A elipse se estende mais no eixo .

Passo 7

Finalmente, a alínea (f):
  1. Rearranjando a equação:
  2. Completando o quadrado para :
    Fatoramos:
    Completando o quadrado:
    Juntando constantes:
    Dividindo por 36:
  3. Identificando os parâmetros:
    , , , .
  4. Encontrando o centro:
    O centro é .
  5. Determinar qual eixo é o maior:
    , então o eixo maior está no eixo .
  6. Calculando os vértices no eixo maior:
    Os vértices são e .
  7. Encontrando os focos:
    Os focos estão em .
  8. Esboçando o gráfico:
    • Centro em .
    • Vértices em e .
    • Focos em e .
    • A elipse se estende mais no eixo .

Resposta

Foram encontrados os centros, vértices no eixo maior, focos e esboçados os gráficos das elipses para as alíneas (a) a (f) conforme detalhado nos passos acima.

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