Encontre o centro, os vértices no eixo maior e os focos das elipses. Esboce o gráfico de cada uma delas:
(a)
©
(d)
(b)
(e)
(f)
(a)
©
(d)
(b)
(e)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar o centro, os vértices no eixo maior, os focos e esboçar o gráfico de várias elipses dadas pelas equações. Para isso, vamos usar o conteúdo de equações das elipses, que envolve identificar a forma padrão da equação e encontrar seus parâmetros. Vamos precisar completar quadrados quando necessário e entender um pouco sobre as propriedades das elipses.
Passo 2
Vamos começar com a alínea (a):
-
Identificando a forma padrão:
A equação de uma elipse na forma padrão é, onde é o centro, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor. -
Comparando com a equação dada:
Aqui,, , e . -
Encontrando o centro:
O centro da elipse é. -
Determinar qual eixo é o maior:
Como( ), o eixo maior está no eixo . -
Calculando os vértices no eixo maior:
Os vértices sãoe . -
Encontrando os focos:
A fórmula para os focos é. Então,. Os focos estão eme . -
Esboçando o gráfico:
- Centro em
. - Vértices em
e . - Focos em
e aproximadamente. - A elipse se estende mais no eixo
devido ao maior valor de .
- Centro em
Passo 3
Agora vamos para a alínea (b):
-
Identificando a forma padrão:
Novamente, usamos. -
Comparando com a equação dada:
Aqui,, , e . -
Encontrando o centro:
O centro é. -
Determinar qual eixo é o maior:
Como( ), o eixo maior está no eixo . -
Calculando os vértices no eixo maior:
Os vértices sãoe . -
Encontrando os focos:
Usamos. . Os focos estão eme . -
Esboçando o gráfico:
- Centro em
. - Vértices em
e . - Focos em
e . - A elipse se estende mais no eixo
devido ao maior valor de .
- Centro em
Passo 4
Vamos para a alínea ©:
-
Colocando a equação na forma padrão:
Primeiro, vamos rearranjar os termos:Dividimos todos os termos por 27 para facilitar:Simplificando: -
Completando o quadrado para
: Somandodos dois lados: Dividindo tudo por: -
Identificando os parâmetros:
Agora temos a forma padrão:Então,, , , . -
Encontrando o centro:
O centro é. -
Determinar qual eixo é o maior:
, então o eixo maior está no eixo . -
Calculando os vértices no eixo maior:
Os vértices sãoe . -
Encontrando os focos:
. Os focos estão eme . -
Esboçando o gráfico:
- Centro em
. - Vértices em
e . - Focos em
e . - A elipse se estende mais no eixo
.
- Centro em
Passo 5
Passando para a alínea (d):
-
Rearranjando a equação:
-
Completando o quadrado para
: Fatoramos o coeficiente de: Completando o quadrado:Juntando constantes:Dividindo por 144: -
Identificando os parâmetros:
, , , . -
Encontrando o centro:O centro é
. -
Determinar qual eixo é o maior:
, então o eixo maior está no eixo . -
Calculando os vértices no eixo maior:Os vértices são
e . -
Encontrando os focos:Os focos estão em
. -
Esboçando o gráfico:
- Centro em
. - Vértices em
e . - Focos em
e . - A elipse se estende mais no eixo
.
- Centro em
Passo 6
Vamos para a alínea (e):
-
Rearranjando a equação:
-
Completando o quadrado para
: Fatoramos:Completando o quadrado:Juntando constantes:Dividindo por 400: -
Identificando os parâmetros:
, , , . -
Encontrando o centro:O centro é
. -
Determinar qual eixo é o maior:
, então o eixo maior está no eixo . -
Calculando os vértices no eixo maior:Os vértices são
e . -
Encontrando os focos:Os focos estão em
e . -
Esboçando o gráfico:
- Centro em
. - Vértices em
e . - Focos em
e . - A elipse se estende mais no eixo
.
- Centro em
Passo 7
Finalmente, a alínea (f):
-
Rearranjando a equação:
-
Completando o quadrado para
: Fatoramos:Completando o quadrado:Juntando constantes:Dividindo por 36: -
Identificando os parâmetros:
, , , . -
Encontrando o centro:O centro é
. -
Determinar qual eixo é o maior:
, então o eixo maior está no eixo . -
Calculando os vértices no eixo maior:Os vértices são
e . -
Encontrando os focos:Os focos estão em
. -
Esboçando o gráfico:
- Centro em
. - Vértices em
e . - Focos em
e . - A elipse se estende mais no eixo
.
- Centro em
Resposta
Foram encontrados os centros, vértices no eixo maior, focos e esboçados os gráficos das elipses para as alíneas (a) a (f) conforme detalhado nos passos acima.