Encontre o centro, os vértices no eixo maior e os focos das elipses. Esboce o gráfico de cada uma delas:
(a)
©
(d)
(b)
(e)
(f)
(a)
©
(d)
(b)
(e)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar o centro, os vértices no eixo maior, os focos e esboçar o gráfico de várias elipses dadas pelas equações. Para isso, vamos usar o conteúdo de equações das elipses, que envolve identificar a forma padrão da equação e encontrar seus parâmetros. Vamos precisar completar quadrados quando necessário e entender um pouco sobre as propriedades das elipses.
Passo 2
Vamos começar com a alínea (a):
-
Identificando a forma padrão:
A equação de uma elipse na forma padrão é, onde é o centro, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor. -
Comparando com a equação dada:
Aqui,, , e . -
Encontrando o centro:
O centro da elipse é. -
Determinar qual eixo é o maior:
Como( ), o eixo maior está no eixo . -
Calculando os vértices no eixo maior:
Os vértices sãoe . -
Encontrando os focos:
A fórmula para os focos é. Então,. Os focos estão eme . -
Esboçando o gráfico:
- Centro em
. - Vértices em
e . - Focos em
e aproximadamente. - A elipse se estende mais no eixo
devido ao maior valor de .
- Centro em
Passo 3
Agora vamos para a alínea (b):
-
Identificando a forma padrão:
Novamente, usamos. -
Comparando com a equação dada:
Aqui,, , e . -
Encontrando o centro:
O centro é. -
Determinar qual eixo é o maior:
Como( ), o eixo maior está no eixo . -
Calculando os vértices no eixo maior:
Os vértices sãoe . -
Encontrando os focos:
Usamos. . Os focos estão eme . -
Esboçando o gráfico:
- Centro em
. - Vértices em
e . - Focos em
e . - A elipse se estende mais no eixo
devido ao maior valor de .
- Centro em
Passo 4
Vamos para a alínea ©:
-
Colocando a equação na forma padrão:
Primeiro, vamos rearranjar os termos:Dividimos todos os termos por 27 para facilitar:Simplificando: -
Completando o quadrado para
: Somandodos dois lados: Dividindo tudo por: -
Identificando os parâmetros:
Agora temos a forma padrão:Então,, , , . -
Encontrando o centro:
O centro é. -
Determinar qual eixo é o maior:
, então o eixo maior está no eixo . -
Calculando os vértices no eixo maior:
Os vértices sãoe . -
Encontrando os focos:
. Os focos estão eme . -
Esboçando o gráfico:
- Centro em
. - Vértices em
e . - Focos em
e . - A elipse se estende mais no eixo
.
- Centro em
Passo 5
Passando para a alínea (d):
-
Rearranjando a equação:
-
Completando o quadrado para
: Fatoramos o coeficiente de: Completando o quadrado:Juntando constantes:Dividindo por 144: -
Identificando os parâmetros:
, , , . -
Encontrando o centro:O centro é
. -
Determinar qual eixo é o maior:
, então o eixo maior está no eixo . -
Calculando os vértices no eixo maior:Os vértices são
e . -
Encontrando os focos:Os focos estão em
. -
Esboçando o gráfico:
- Centro em
. - Vértices em
e . - Focos em
e . - A elipse se estende mais no eixo
.
- Centro em
Passo 6
Vamos para a alínea (e):
-
Rearranjando a equação:
-
Completando o quadrado para
: Fatoramos:Completando o quadrado:Juntando constantes:Dividindo por 400: -
Identificando os parâmetros:
, , , . -
Encontrando o centro:O centro é
. -
Determinar qual eixo é o maior:
, então o eixo maior está no eixo . -
Calculando os vértices no eixo maior:Os vértices são
e . -
Encontrando os focos:Os focos estão em
e . -
Esboçando o gráfico:
- Centro em
. - Vértices em
e . - Focos em
e . - A elipse se estende mais no eixo
.
- Centro em
Passo 7
Finalmente, a alínea (f):
-
Rearranjando a equação:
-
Completando o quadrado para
: Fatoramos:Completando o quadrado:Juntando constantes:Dividindo por 36: -
Identificando os parâmetros:
, , , . -
Encontrando o centro:O centro é
. -
Determinar qual eixo é o maior:
, então o eixo maior está no eixo . -
Calculando os vértices no eixo maior:Os vértices são
e . -
Encontrando os focos:Os focos estão em
. -
Esboçando o gráfico:
- Centro em
. - Vértices em
e . - Focos em
e . - A elipse se estende mais no eixo
.
- Centro em
Resposta
Foram encontrados os centros, vértices no eixo maior, focos e esboçados os gráficos das elipses para as alíneas (a) a (f) conforme detalhado nos passos acima.
Exercícios relacionados
Use as interseções com os eixos coordenados e esboce os seguintes planos:
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)
Verifique se é verdadeira ou falsa cada afirmação
Operação | Tempo de Operação <br> (min) | Operações <br> Precedentes |
---|---|---|
A | 1,2 | – |
B | 1,5 | A |
C | 0,3 | – |
D | 1,3 | D |
E | 1,7 | – |
G | 0,5 | G |
H | 0,2 | F,H |
J | 1,4 | I,J |
(a) Desenhe o diagrama de precedências.
(b) Determine o tempo de ciclo.
© Calcule o numero mínimo de estações.
(d) Faça o balanceamento da linha de produção.
(e) Calcule a eficiência atingida.
(b) Determine o tempo de ciclo.
© Calcule o numero mínimo de estações.
(d) Faça o balanceamento da linha de produção.
(e) Calcule a eficiência atingida.
Quadro 1 - Cronometragens (minutos)
ELEMENTOS | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|
Elemento 1 | 1,03 | 1,04 | 1,02 | 1,02 |
Elemento 2 | 2,07 | 2,02 | 2,04 | 2,03 |
Total | 3,10 | 3,06 | 3,06 | 3,05 |
Velocidade |
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