Encontre o centro, os vértices no eixo maior e os focos das elipses. Esboce o gráfico de cada uma delas:
(a)
©
(d)
(b)
(e)
(f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar o centro, os vértices no eixo maior, os focos e esboçar o gráfico de várias elipses dadas pelas equações. Para isso, vamos usar o conteúdo de equações das elipses, que envolve identificar a forma padrão da equação e encontrar seus parâmetros. Vamos precisar completar quadrados quando necessário e entender um pouco sobre as propriedades das elipses.

Passo 2

Vamos começar com a alínea (a):
  1. Identificando a forma padrão:
    A equação de uma elipse na forma padrão é , onde é o centro, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.
  2. Comparando com a equação dada:
    Aqui, , , e .
  3. Encontrando o centro:
    O centro da elipse é .
  4. Determinar qual eixo é o maior:
    Como ( ), o eixo maior está no eixo .
  5. Calculando os vértices no eixo maior:
    Os vértices são e .
  6. Encontrando os focos:
    A fórmula para os focos é .
    Então, .
    Os focos estão em e .
  7. Esboçando o gráfico:
    • Centro em .
    • Vértices em e .
    • Focos em e aproximadamente.
    • A elipse se estende mais no eixo devido ao maior valor de .

Passo 3

Agora vamos para a alínea (b):
  1. Identificando a forma padrão:
    Novamente, usamos .
  2. Comparando com a equação dada:
    Aqui, , , e .
  3. Encontrando o centro:
    O centro é .
  4. Determinar qual eixo é o maior:
    Como ( ), o eixo maior está no eixo .
  5. Calculando os vértices no eixo maior:
    Os vértices são e .
  6. Encontrando os focos:
    Usamos .
    .
    Os focos estão em e .
  7. Esboçando o gráfico:
    • Centro em .
    • Vértices em e .
    • Focos em e .
    • A elipse se estende mais no eixo devido ao maior valor de .

Passo 4

Vamos para a alínea ©:
  1. Colocando a equação na forma padrão:
    Primeiro, vamos rearranjar os termos:
    Dividimos todos os termos por 27 para facilitar:
    Simplificando:
  2. Completando o quadrado para :
    Somando dos dois lados:
    Dividindo tudo por :
  3. Identificando os parâmetros:
    Agora temos a forma padrão:
    Então, , , , .
  4. Encontrando o centro:
    O centro é .
  5. Determinar qual eixo é o maior:
    , então o eixo maior está no eixo .
  6. Calculando os vértices no eixo maior:
    Os vértices são e .
  7. Encontrando os focos:
    .
    Os focos estão em e .
  8. Esboçando o gráfico:
    • Centro em .
    • Vértices em e .
    • Focos em e .
    • A elipse se estende mais no eixo .

Passo 5

Passando para a alínea (d):
  1. Rearranjando a equação:
  2. Completando o quadrado para :
    Fatoramos o coeficiente de :
    Completando o quadrado:
    Juntando constantes:
    Dividindo por 144:
  3. Identificando os parâmetros:
    , , , .
  4. Encontrando o centro:
    O centro é .
  5. Determinar qual eixo é o maior:
    , então o eixo maior está no eixo .
  6. Calculando os vértices no eixo maior:
    Os vértices são e .
  7. Encontrando os focos:
    Os focos estão em .
  8. Esboçando o gráfico:
    • Centro em .
    • Vértices em e .
    • Focos em e .
    • A elipse se estende mais no eixo .

Passo 6

Vamos para a alínea (e):
  1. Rearranjando a equação:
  2. Completando o quadrado para :
    Fatoramos:
    Completando o quadrado:
    Juntando constantes:
    Dividindo por 400:
  3. Identificando os parâmetros:
    , , , .
  4. Encontrando o centro:
    O centro é .
  5. Determinar qual eixo é o maior:
    , então o eixo maior está no eixo .
  6. Calculando os vértices no eixo maior:
    Os vértices são e .
  7. Encontrando os focos:
    Os focos estão em e .
  8. Esboçando o gráfico:
    • Centro em .
    • Vértices em e .
    • Focos em e .
    • A elipse se estende mais no eixo .

Passo 7

Finalmente, a alínea (f):
  1. Rearranjando a equação:
  2. Completando o quadrado para :
    Fatoramos:
    Completando o quadrado:
    Juntando constantes:
    Dividindo por 36:
  3. Identificando os parâmetros:
    , , , .
  4. Encontrando o centro:
    O centro é .
  5. Determinar qual eixo é o maior:
    , então o eixo maior está no eixo .
  6. Calculando os vértices no eixo maior:
    Os vértices são e .
  7. Encontrando os focos:
    Os focos estão em .
  8. Esboçando o gráfico:
    • Centro em .
    • Vértices em e .
    • Focos em e .
    • A elipse se estende mais no eixo .

Resposta

Foram encontrados os centros, vértices no eixo maior, focos e esboçados os gráficos das elipses para as alíneas (a) a (f) conforme detalhado nos passos acima.

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(a)
(d)
(b)
(e)
©
(f)
Verifique se é verdadeira ou falsa cada afirmação
A montagem de um produto exige 11 operações, segundo a tabela abaixo. Para satisfazer às necessidades de vendas é necessário produzir 300 unidades por cada turno de 450 minutos. Pede-se:
Operação Tempo de Operação <br> (min) Operações <br> Precedentes
A 1,2
B 1,5 A
C 0,3
D 1,3 D
E 1,7
G 0,5 G
H 0,2 F,H
J 1,4 I,J
(a) Desenhe o diagrama de precedências.
(b) Determine o tempo de ciclo.
© Calcule o numero mínimo de estações.
(d) Faça o balanceamento da linha de produção.
(e) Calcule a eficiência atingida.
Uma operação é constituída de dois elementos e foi cronometrada 4 vezes. Os resultados estão no Quadro 1 abaixo. A empresa concede 25 minutos de fadiga e 30 minutos para necessidades pessoais em um dia de trabalho de 8 horas. Determinar o tempo médio ™, o tempo normal (TN) e o tempo padrão (TP). Quantas peças podem ser produzidas por dia?
Quadro 1 - Cronometragens (minutos)
ELEMENTOS 1 2 3 4
Elemento 1 1,03 1,04 1,02 1,02
Elemento 2 2,07 2,02 2,04 2,03
Total 3,10 3,06 3,06 3,05
Velocidade