Encontre centro, vértices, focos, excentricidade e esboce as elipses de equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de uma elipse:
. A matéria que vamos usar é a de Geometria Analítica, especificamente sobre elipses. Para isso, precisamos identificar os elementos básicos da elipse, como o centro, vértices, focos e excentricidade.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. Começamos isolando os termos com
e
:
Dividindo todos os termos por 900 para facilitar:
Simplificando as frações:
Agora, temos a equação da elipse na forma padrão:
Passo 3
Comparando com a forma padrão, vemos que:
-
e , então o centro da elipse é . -
e , então e .
Passo 4
Os vértices da elipse estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo maior. Como
, o eixo maior é no eixo
:
- Vértices:
→ → e
Passo 5
Para encontrar os focos, precisamos calcular a distância
, onde
:
Os focos estão a uma distância
do centro ao longo do eixo maior:
- Focos:
→ → e
Passo 6
A excentricidade
da elipse é dada por:
Isso nos indica o quão alongada é a elipse.
Passo 7
Para esboçar a elipse, plotamos o centro
, os vértices
e
, e os focos
e
. Desenhamos uma curva suave que passa pelos vértices e é simétrica em relação aos eixos.
Resposta
- Centro:
- Vértices:
e - Focos:
e - Excentricidade:
- Esboço da elipse: Uma elipse centrada na origem, mais alongada ao longo do eixo
, passando pelos vértices e tendo os focos a 8 unidades do centro.