Encontre centro, vértices, focos, excentricidade e esboce as elipses de equação: 9 x^2+25 y^2-900=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de uma elipse: . A matéria que vamos usar é a de Geometria Analítica, especificamente sobre elipses. Para isso, precisamos identificar os elementos básicos da elipse, como o centro, vértices, focos e excentricidade.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. Começamos isolando os termos com 9x^2 + 25y^2 = 900 e 9x^2900 + 25y^2900 = 1:
x^2100 + y^236 = 1
Dividindo todos os termos por 900 para facilitar:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Simplificando as frações:
Agora, temos a equação da elipse na forma padrão:

Passo 3

Comparando com a forma padrão, vemos que:
  • e , então o centro da elipse é .
  • e , então e .

Passo 4

Os vértices da elipse estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo maior. Como , o eixo maior é no eixo :
  • Vértices: e

Passo 5

Para encontrar os focos, precisamos calcular a distância c = raiz100 - 36 = raiz64 = 8, onde :
Os focos estão a uma distância do centro ao longo do eixo maior:
  • Focos: e

Passo 6

A excentricidade e = ca = 810 = 0,8 da elipse é dada por:
Isso nos indica o quão alongada é a elipse.

Passo 7

Para esboçar a elipse, plotamos o centro , os vértices e , e os focos e . Desenhamos uma curva suave que passa pelos vértices e é simétrica em relação aos eixos.

Resposta

  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Excentricidade:
  • Esboço da elipse: Uma elipse centrada na origem, mais alongada ao longo do eixo , passando pelos vértices e tendo os focos a 8 unidades do centro.

Exercícios relacionados