Encontre centro, vértices, focos, excentricidade e esboce as hipérboles abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de uma hipérbole:
. Aqui, a gente vai precisar usar a matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre conic sections. Vamos encontrar o centro, vértices, focos, excentricidade e até fazer um esboço da hipérbole. Para isso, vamos completar os quadrados e colocar a equação na forma padrão da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de
e
:
Isso ajuda a deixar claro quais termos vamos completar o quadrado.
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e de
. Mas antes disso, vamos fatorar os coeficientes das variáveis quadráticas:
Completar o quadrado significa transformar algo do tipo
em
, ajustando os termos.
Passo 4
Vamos completar o quadrado para
:
Então:
Mas como adicionamos 1 dentro do parênteses, precisamos ajustar a equação:
Passo 5
Agora, completamos o quadrado para
:
Então:
Novamente, ajustamos a equação:
Passo 6
Expandindo e simplificando:
Agora, vamos dividir tudo por 20 para chegar na forma padrão:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole horizontal.
Passo 7
Agora que temos a equação na forma padrão
, podemos identificar os parâmetros:
- Centro
-
-
Passo 8
Os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo transversal (no caso, eixo
):
Passo 9
Para encontrar os focos, usamos a relação
:
Então, os focos estão a uma distância
do centro:
Passo 10
A excentricidade
da hipérbole é dada por:
Isso nos mostra o quão “esticada” é a hipérbole.
Passo 11
Agora, para esboçar a hipérbole, sabemos que ela é horizontal (porque o termo de
é positivo). O centro é
, os vértices são
e
, e os focos são
e
. Desenhamos os eixos, marcamos esses pontos e traçamos as duas ramos da hipérbole que se abrem para a direita e para a esquerda.
Resposta
- Centro:
- Vértices:
e - Focos:
e - Excentricidade:
- Esboço: Hipérbole horizontal com os vértices e focos conforme acima, centrada em
, abrindo-se para os lados.