Encontre centro, vértices, focos, excentricidade e esboce as hipérboles abaixo: 5 x^2-4 y^2-10 x+8 y-19=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de uma hipérbole: . Aqui, a gente vai precisar usar a matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre conic sections. Vamos encontrar o centro, vértices, focos, excentricidade e até fazer um esboço da hipérbole. Para isso, vamos completar os quadrados e colocar a equação na forma padrão da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de 5x^2 -10x -4y^2 +8y = 19 e :
Isso ajuda a deixar claro quais termos vamos completar o quadrado.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 5(x^2 - 2x) -4(y^2 -2y) = 19 e de . Mas antes disso, vamos fatorar os coeficientes das variáveis quadráticas:
Completar o quadrado significa transformar algo do tipo em , ajustando os termos.

Passo 4

Vamos completar o quadrado para x^2 - 2x precisa de (-22)^2 = 1 :
x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2
Então:
5[(x-1)^2 -1] -4(y^2 -2y) = 19
Mas como adicionamos 1 dentro do parênteses, precisamos ajustar a equação:

Passo 5

Agora, completamos o quadrado para y^2 -2y precisa de (-22)^2 =1 :
y^2 -2y +1 = (y-1)^2
Então:
5[(x-1)^2 -1] -4[(y-1)^2 -1] = 19
Novamente, ajustamos a equação:

Passo 6

Expandindo e simplificando:
5(x-1)^2 -5 -4(y-1)^2 +4 = 19 5(x-1)^2 -4(y-1)^2 -1 = 19 5(x-1)^2 -4(y-1)^2 = 20
Agora, vamos dividir tudo por 20 para chegar na forma padrão:
(x-1)^24 - (y-1)^25 = 1
Essa é a forma padrão de uma hipérbole horizontal.

Passo 7

Agora que temos a equação na forma padrão , podemos identificar os parâmetros:
  • Centro

Passo 8

Os vértices estão a uma distância Vértices: (1 pm 2, 1) Rightarrow (3, 1) e (-1, 1) do centro ao longo do eixo transversal (no caso, eixo ):
é

Passo 9

Para encontrar os focos, usamos a relação c^2 = 4 + 5 = 9 Rightarrow c = 3 :
Focos: (1 pm 3, 1) Rightarrow (4, 1) e (-2, 1)
Então, os focos estão a uma distância do centro:

Passo 10

A excentricidade e = ca = 32 da hipérbole é dada por:
Isso nos mostra o quão “esticada” é a hipérbole.

Passo 11

Agora, para esboçar a hipérbole, sabemos que ela é horizontal (porque o termo de é positivo). O centro é , os vértices são e , e os focos são e . Desenhamos os eixos, marcamos esses pontos e traçamos as duas ramos da hipérbole que se abrem para a direita e para a esquerda.

Resposta

  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Excentricidade:
  • Esboço: Hipérbole horizontal com os vértices e focos conforme acima, centrada em , abrindo-se para os lados.

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