Encontre a equação da hipérbole com: Vértices (2,-2) e (2,4) e excentricidade e=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a equação de uma hipérbole que tem dois vértices nas coordenadas (2,-2) e (2,4) e uma excentricidade e=2. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre as propriedades da hipérbole, como encontrar o centro, os valores de a, b e usar a fórmula geral da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Os vértices são dois pontos que estão igualmente distantes do centro. Para encontrar o centro, calculamos o ponto médio entre os vértices (2,-2) e (2,4).

Passo 3

Calculando o ponto médio:
h = 2 + 22 = 2
k = -2 + 42 = 1
Então, o centro C da hipérbole é (2,1).

Passo 4

Agora, vamos determinar o valor de a, que é a distância do centro a cada vértice. A distância entre (2,1) e (2,4) é:
a = 4 - 1 = 3

Passo 5

Sabemos também que a excentricidade e é dada por:
e = ca
Onde c é a distância do centro aos focos. Como e=2, podemos encontrar c:
2 = c3 Rightarrow c = 6

Passo 6

Agora, usamos a relação entre a, b e c na hipérbole:
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo os valores que temos:
6^2 = 3^2 + b^2 Rightarrow 36 = 9 + b^2 Rightarrow b^2 = 27 Rightarrow b = 3raiz3

Passo 7

Como os vértices estão alinhados verticalmente (mesmo valor de x), a hipérbole tem a forma vertical. A equação padrão para uma hipérbole vertical é:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Substituindo os valores que encontramos:
h = 2, k = 1, a = 3, b^2 = 27

Resposta

A equação da hipérbole é:
(y - 1)^29 - (x - 2)^227 = 1

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