Encontre a equação da hipérbole com: Vértices
e
e excentricidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a equação de uma hipérbole que tem dois vértices nas coordenadas
e
e uma excentricidade
. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre as propriedades da hipérbole, como encontrar o centro, os valores de
,
e usar a fórmula geral da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Os vértices são dois pontos que estão igualmente distantes do centro. Para encontrar o centro, calculamos o ponto médio entre os vértices
e
.
Passo 3
Calculando o ponto médio:
Então, o centro
da hipérbole é
.
Passo 4
Agora, vamos determinar o valor de
, que é a distância do centro a cada vértice. A distância entre
e
é:
Passo 5
Sabemos também que a excentricidade
é dada por:
Onde
é a distância do centro aos focos. Como
, podemos encontrar
:
Passo 6
Agora, usamos a relação entre
,
e
na hipérbole:
Substituindo os valores que temos:
Passo 7
Como os vértices estão alinhados verticalmente (mesmo valor de
), a hipérbole tem a forma vertical. A equação padrão para uma hipérbole vertical é:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A equação da hipérbole é: