Identifique, encontre o ângulo de rotação e descreva a nova equação de cada uma das cônicas abaixo : 3 x^2-2 x y+3 y^2-32=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar que tipo de cônica temos na equação . Além disso, precisamos encontrar o ângulo de rotação necessário para eliminar o termo e, por fim, escrever a nova equação da cônica após essa rotação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente a rotação de eixos para simplificar a equação das cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de cônica que temos. A equação geral de uma cônica é . No nosso caso, , e . Para determinar o tipo de cônica, usamos o discriminante .

Passo 3

Calculando o discriminante:
De
Como , sabemos que a cônica é uma elipse.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ângulo de rotação tan(2theta) = BA - C que elimina o termo tan(2theta) = -23 - 3 = -20 . A fórmula para isso é:
theta = 90^circ2 = 45^circ
Substituindo os valores:
Isso significa que tende ao infinito, o que ocorre quando . Portanto:

Passo 5

Com o ângulo de rotação x = X costheta - Y sintheta , vamos fazer a substituição das coordenadas y = X sintheta + Y costheta e para e usando as fórmulas de rotação:
Como , temos . Substituindo na equação original e simplificando, o termo será eliminado.

Passo 6

Após substituir e simplificar, a nova equação da elipse sem o termo 3(raiz22X - raiz22Y)^2 - 2(raiz22X - raiz22Y)(raiz22X + raiz22Y) + 3(raiz22X + raiz22Y)^2 - 32 = 0 fica:
Simplificando ainda mais, obtemos a nova equação da elipse na forma deslocada e sem o termo de rotação.

Resposta

O ângulo de rotação necessário é de X^28 + Y^28 = 4 e a nova equação da elipse após a rotação é:

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