Identifique, encontre o ângulo de rotação e descreva a nova equação de cada uma das cônicas abaixo :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar que tipo de cônica temos na equação
. Além disso, precisamos encontrar o ângulo de rotação necessário para eliminar o termo
e, por fim, escrever a nova equação da cônica após essa rotação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente a rotação de eixos para simplificar a equação das cônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de cônica que temos. A equação geral de uma cônica é
. No nosso caso,
,
e
. Para determinar o tipo de cônica, usamos o discriminante
.
Passo 3
Calculando o discriminante:
Como
, sabemos que a cônica é uma elipse.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o ângulo de rotação
que elimina o termo
. A fórmula para isso é:
Substituindo os valores:
Isso significa que
tende ao infinito, o que ocorre quando
. Portanto:
Passo 5
Com o ângulo de rotação
, vamos fazer a substituição das coordenadas
e
para
e
usando as fórmulas de rotação:
Como
, temos
. Substituindo na equação original e simplificando, o termo
será eliminado.
Passo 6
Após substituir e simplificar, a nova equação da elipse sem o termo
fica:
Simplificando ainda mais, obtemos a nova equação da elipse na forma deslocada e sem o termo de rotação.
Resposta
O ângulo de rotação necessário é de
e a nova equação da elipse após a rotação é: