Encontre centro, vértices, focos, excentricidade e esboce as hipérboles abaixo: 8 x^2-y^2+8=0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação e precisamos encontrar o centro, os vértices, os focos, a excentricidade da hipérbole correspondente, além de esboçá-la. Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica relacionados às hipérboles.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma padrão de uma hipérbole com eixo vertical é:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
onde é o centro da hipérbole.
Vamos reorganizar a equação dada para se parecer com essa forma.

Passo 3

Começamos com a equação original:
8x^2 - y^2 + 8 = 0
Primeiro, vamos isolar os termos quadráticos:
8x^2 - y^2 = -8
Agora, dividimos toda a equação por -8 para facilitar a obtenção da forma padrão:
-8x^28 + y^28 = 1
Simplificando:
- x^2 + y^28 = 1
Rearranjando para deixar o termo positivo primeiro:
y^28 - x^2 = 1
Pronto! Agora a equação está na forma padrão da hipérbole com eixo vertical.

Passo 4

Comparando com a forma padrão:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Podemos identificar os parâmetros:
  • Centro : Como não há termos de ou deslocados, o centro é na origem .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os vértices da hipérbole. Para uma hipérbole com eixo vertical, os vértices estão a uma distância (0, 0 + 2raiz2) = (0, 2raiz2) acima e abaixo do centro.
Então, os vértices são:
(0, 0 - 2raiz2) = (0, -2raiz2)

Passo 6

Para encontrar os focos, usamos a relação:
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo os valores:
c^2 = 8 + 1 = 9 Rightarrow c = 3
Então, os focos estão a uma distância (0, 0 + 3) = (0, 3) acima e abaixo do centro:
(0, 0 - 3) = (0, -3)

Passo 7

A excentricidade ( e = ca ) da hipérbole é dada por:
e = 32raiz2 = 3raiz24
Substituindo os valores encontrados:
A excentricidade indica o quão “esticada” a hipérbole está.

Passo 8

Por fim, para esboçar a hipérbole, consideramos os seguintes elementos:
  • Centro: y = pm 2raiz21x Rightarrow y = pm 2raiz2,x
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Assíntotas: Linhas que passam pelo centro e têm inclinação . Neste caso, as equações das assíntotas são:
O esboço mostrará a hipérbole aberta para cima e para baixo, passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas.

Resposta

  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Excentricidade:
A hipérbole possui um eixo vertical, está centrada na origem, e seus vértices e focos estão distribuídos ao longo do eixo . O esboço da hipérbole mostrará duas curvas simétricas abertas para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas definidas pelas equações e .

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