Encontre centro, vértices, focos, excentricidade e esboce as hipérboles abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação
e precisamos encontrar o centro, os vértices, os focos, a excentricidade da hipérbole correspondente, além de esboçá-la. Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica relacionados às hipérboles.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma padrão de uma hipérbole com eixo vertical é:
onde
é o centro da hipérbole.
Vamos reorganizar a equação dada para se parecer com essa forma.
Passo 3
Começamos com a equação original:
Primeiro, vamos isolar os termos quadráticos:
Agora, dividimos toda a equação por -8 para facilitar a obtenção da forma padrão:
Simplificando:
Rearranjando para deixar o termo positivo primeiro:
Pronto! Agora a equação está na forma padrão da hipérbole com eixo vertical.
Passo 4
Comparando com a forma padrão:
Podemos identificar os parâmetros:
- Centro
: Como não há termos de ou deslocados, o centro é na origem . -
-
Passo 5
Agora, vamos encontrar os vértices da hipérbole. Para uma hipérbole com eixo vertical, os vértices estão a uma distância
acima e abaixo do centro.
Então, os vértices são:
Passo 6
Para encontrar os focos, usamos a relação:
Substituindo os valores:
Então, os focos estão a uma distância
acima e abaixo do centro:
Passo 7
A excentricidade (
) da hipérbole é dada por:
Substituindo os valores encontrados:
A excentricidade indica o quão “esticada” a hipérbole está.
Passo 8
Por fim, para esboçar a hipérbole, consideramos os seguintes elementos:
- Centro:
- Vértices:
e - Focos:
e - Assíntotas: Linhas que passam pelo centro e têm inclinação
. Neste caso, as equações das assíntotas são:
O esboço mostrará a hipérbole aberta para cima e para baixo, passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas.
Resposta
- Centro:
- Vértices:
e - Focos:
e - Excentricidade:
A hipérbole possui um eixo vertical, está centrada na origem, e seus vértices e focos estão distribuídos ao longo do eixo
. O esboço da hipérbole mostrará duas curvas simétricas abertas para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas definidas pelas equações
e
.