Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar o centróide da região delimitada pelas curvas e . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente integrando para achar a área e as coordenadas do centróide. Vamos precisar usar integrais definidas para calcular tanto a área da região quanto as coordenadas e do centróide.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. Temos duas equações:
  1. — que é uma parábola virada para baixo, com vértice no ponto (0, 4).
  2. — que é o eixo x.
Para visualizar, a parábola cruza o eixo x quando , ou seja, quando . Então, a região delimitada é a área entre e , de cima por e de baixo pelo eixo x.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a área dessa região. A fórmula para a área entre duas curvas é:
Aqui, e , e os limites de integração são e . Então:
Vamos calcular essa integral:
Então, a área é unidades quadradas.

Passo 4

Vamos encontrar a coordenada do centróide. Observando simetria, a região é simétrica em relação ao eixo y (porque a parábola é igual para e ). Então, intuitivamente, .
Mas vamos confirmar isso usando a fórmula:
Substituindo:
Integrando:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a coordenada . A fórmula para é:
Mas uma forma mais simples, já que , é:
Vamos simplificar:
Calculando a integral:
Então:

Resposta

O centróide da região delimitada pelas equações e é .

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