Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar o centróide da região delimitada pelas curvas
e
. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente integrando para achar a área e as coordenadas do centróide. Vamos precisar usar integrais definidas para calcular tanto a área da região quanto as coordenadas
e
do centróide.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. Temos duas equações:
-
— que é uma parábola virada para baixo, com vértice no ponto (0, 4). -
— que é o eixo x.
Para visualizar, a parábola cruza o eixo x quando
, ou seja, quando
. Então, a região delimitada é a área entre
e
, de cima por
e de baixo pelo eixo x.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a área dessa região. A fórmula para a área
entre duas curvas é:
Aqui,
e
, e os limites de integração são
e
. Então:
Vamos calcular essa integral:
Então, a área é
unidades quadradas.
Passo 4
Vamos encontrar a coordenada
do centróide. Observando simetria, a região é simétrica em relação ao eixo y (porque a parábola é igual para
e
). Então, intuitivamente,
.
Mas vamos confirmar isso usando a fórmula:
Substituindo:
Integrando:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a coordenada
. A fórmula para
é:
Mas uma forma mais simples, já que
, é:
Vamos simplificar:
Calculando a integral:
Então:
Resposta
O centróide da região delimitada pelas equações
e
é
.
Exercícios relacionados
Seja
. Localizar uma das raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.