Seja . Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente tem a função e precisa encontrar um intervalo de comprimento 0,5 onde a raiz dessa função está localizada. Isso significa que queremos achar dois números que estão a 0,5 de distância um do outro e que, entre eles, a função muda de sinal (passa de positiva para negativa ou vice-versa). Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que diz justamente isso: se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher alguns valores de para calcular e ver onde a função muda de sinal. Lembrando que o logaritmo natural só está definido para . Vamos começar com :
Agora, vamos para :
Ainda negativo. Vamos tentar :
Agora a função é positiva. Então, sabemos que entre e , a função muda de negativa para positiva, ou seja, há uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Como precisamos de um intervalo com comprimento 0,5, vamos afunilar mais. Vamos verificar o valor de em :
Ainda positivo. Então, agora sabemos que a mudança de sinal ocorre entre e .

Passo 4

Para confirmar que esse intervalo tem exatamente comprimento 0,5, vamos calcular a diferença:
Perfeito! Além disso, vimos que e , indicando que a função passa de negativa para positiva nesse intervalo.

Resposta

A raiz da função está localizada no intervalo .

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