Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente tem a função
e precisa encontrar um intervalo de comprimento 0,5 onde a raiz dessa função está localizada. Isso significa que queremos achar dois números que estão a 0,5 de distância um do outro e que, entre eles, a função muda de sinal (passa de positiva para negativa ou vice-versa). Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que diz justamente isso: se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher alguns valores de
para calcular
e ver onde a função muda de sinal. Lembrando que o logaritmo natural
só está definido para
. Vamos começar com
:
Agora, vamos para
:
Ainda negativo. Vamos tentar
:
Agora a função é positiva. Então, sabemos que entre
e
, a função muda de negativa para positiva, ou seja, há uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Como precisamos de um intervalo com comprimento 0,5, vamos afunilar mais. Vamos verificar o valor de
em
:
Ainda positivo. Então, agora sabemos que a mudança de sinal ocorre entre
e
.
Passo 4
Para confirmar que esse intervalo tem exatamente comprimento 0,5, vamos calcular a diferença:
Perfeito! Além disso, vimos que
e
, indicando que a função passa de negativa para positiva nesse intervalo.
Resposta
A raiz da função
está localizada no intervalo
.
Exercícios relacionados
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
©
©
Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.