Seja . Provar que a equação possui uma única raiz real.

Passo 1

Então, temos a função e queremos mostrar que a equação tem apenas uma solução real. Vamos usar conceitos de cálculo, como continuidade e derivadas, para provar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o domínio da função . Sabemos que o logaritmo natural só está definido para . Portanto, nosso interesse está nesse intervalo.

Passo 3

Vamos verificar o comportamento de quando se aproxima de 0 e quando tende ao infinito.
  • Quando se aproxima de 0 por valores positivos:
    se aproxima de 1 e tende a menos infinito. Então, tende a mais infinito.
  • Quando tende ao infinito:
    oscila entre -1 e 1, enquanto cresce sem limite. Assim, tende a menos infinito.

Passo 4

Como é contínua no intervalo e muda de para , pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um valor de onde .

Passo 5

Agora, vamos provar que essa raiz é única. Para isso, vamos analisar a derivada de :

Passo 6

Observamos que está sempre entre -1 e 1, e é negativo para . Portanto, para todo .

Passo 7

Uma derivada negativa indica que a função é estritamente decrescente no intervalo considerado. Se uma função é sempre decrescente e muda de para , ela pode cruzar o eixo x apenas uma vez.

Resposta

Portanto, a equação possui exatamente uma única raiz real.

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