Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.
Passo 1
Então, temos a função
e queremos mostrar que a equação
tem apenas uma solução real. Vamos usar conceitos de cálculo, como continuidade e derivadas, para provar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o domínio da função
. Sabemos que o logaritmo natural
só está definido para
. Portanto, nosso interesse está nesse intervalo.
Passo 3
Vamos verificar o comportamento de
quando
se aproxima de 0 e quando
tende ao infinito.
-
Quando
se aproxima de 0 por valores positivos:
se aproxima de 1 e tende a menos infinito. Então, tende a mais infinito. -
Quando
tende ao infinito:
oscila entre -1 e 1, enquanto cresce sem limite. Assim, tende a menos infinito.
Passo 4
Como
é contínua no intervalo
e muda de
para
, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um valor de
onde
.
Passo 5
Agora, vamos provar que essa raiz é única. Para isso, vamos analisar a derivada de
:
Passo 6
Observamos que
está sempre entre -1 e 1, e
é negativo para
. Portanto,
para todo
.
Passo 7
Uma derivada negativa indica que a função é estritamente decrescente no intervalo considerado. Se uma função é sempre decrescente e muda de
para
, ela pode cruzar o eixo x apenas uma vez.
Resposta
Portanto, a equação
possui exatamente uma única raiz real.
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Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.
Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Seja
. Localizar uma das raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
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