Prove que :
O conjunto A = {0, 3, 6, 9, ...} não é limitado superiormente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer provar que o conjunto não é limitado superiormente. Isso significa que não existe um número que seja maior ou igual a todos os elementos de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades dos conjuntos numéricos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um conjunto limitado superiormente. Um conjunto é limitado superiormente se existe um número tal que todo elemento do conjunto é menor ou igual a . Nosso objetivo é mostrar que para , não existe tal .

Passo 3

Observando o conjunto , percebemos que é uma sequência aritmética onde cada termo aumenta de 3 em 3. Podemos representar o -ésimo termo dessa sequência como , onde é um número natural.

Passo 4

Agora, suponha que exista um número que seja um limite superior para . Isso significa que para todo , temos . Mas, se aumentarmos , também aumenta sem parar.

Passo 5

Por exemplo, se escolhermos , então . Isso implica que , que é maior que , o que é uma contradição.

Passo 6

Essa contradição mostra que não existe nenhum número que possa ser um limite superior para todos os elementos de . Ou seja, sempre podemos encontrar um elemento em que é maior que qualquer escolhido.

Resposta

Portanto, o conjunto não é limitado superiormente.

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