Encontre o centroide do sólido. O sólido no primeiro octante limitado pela esfera
e os planos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar o centroide de um sólido. O sólido está no primeiro octante (ou seja, onde todas as coordenadas x, y e z são positivas) e é limitado por uma esfera definida pela equação
e pelos planos coordenados (os eixos x, y e z). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais triplas para encontrar o centroide.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o centroide (
) de um sólido é o ponto médio de massa desse sólido. Como o sólido é simétrico em relação aos três eixos no primeiro octante, sabemos que
. Portanto, podemos calcular apenas uma dessas coordenadas e aplicar o mesmo resultado para as outras.
Passo 3
Para encontrar
, usamos a fórmula:
Onde
é o volume do sólido e
é a região limitada pela esfera e pelos planos coordenados.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o volume
do sólido no primeiro octante limitado pela esfera. A esfera completa tem volume
, e como estamos considerando apenas o primeiro octante, o volume será:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral
. Para isso, usamos coordenadas esféricas, onde:
Os limites de integração para o primeiro octante são:
Passo 6
Substituindo na integral, temos:
Simplificando:
Passo 7
Vamos integrar em relação a
:
Então:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Então:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
. Sabemos que:
Aplicando os limites:
Então:
Passo 10
Agora, podemos encontrar
:
E como
, temos o centroide nas três coordenadas.
Resposta
O centroide do sólido é
.