Encontre o centroide do sólido. O sólido no primeiro octante limitado pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = a^2 e os planos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar o centroide de um sólido. O sólido está no primeiro octante (ou seja, onde todas as coordenadas x, y e z são positivas) e é limitado por uma esfera definida pela equação e pelos planos coordenados (os eixos x, y e z). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais triplas para encontrar o centroide.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o centroide ( ) de um sólido é o ponto médio de massa desse sólido. Como o sólido é simétrico em relação aos três eixos no primeiro octante, sabemos que . Portanto, podemos calcular apenas uma dessas coordenadas e aplicar o mesmo resultado para as outras.

Passo 3

Para encontrar , usamos a fórmula:
Onde é o volume do sólido e é a região limitada pela esfera e pelos planos coordenados.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o volume do sólido no primeiro octante limitado pela esfera. A esfera completa tem volume , e como estamos considerando apenas o primeiro octante, o volume será:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral . Para isso, usamos coordenadas esféricas, onde:
Os limites de integração para o primeiro octante são:

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
Simplificando:

Passo 7

Vamos integrar em relação a :
Então:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :
Então:

Passo 9

Agora, integramos em relação a . Sabemos que:
Aplicando os limites:
Então:

Passo 10

Agora, podemos encontrar :
E como , temos o centroide nas três coordenadas.

Resposta

O centroide do sólido é .

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