Encontre e classifique o(s) ponto(s) crítico(s) da função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e classificar os pontos críticos da função . Isso faz parte de cálculo, mais especificamente do estudo de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e analisar o que elas nos dizem sobre os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Um ponto crítico ocorre onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Ou seja, precisamos resolver o sistema de equações onde e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da função:
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero e resolver o sistema de equações:
Da segunda equação, já sabemos que . Substituindo esse valor na primeira equação:
Então, o ponto crítico é .

Passo 5

Agora que encontramos o ponto crítico, vamos classificá-lo usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as seguintes derivadas segundas:
Calculamos também o discriminante :
Segundo o teste da segunda derivada:
  • Se e , é um ponto de mínimo.
  • Se e , é um ponto de máximo.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, , então o ponto é um ponto de sela.

Resposta

A função tem um ponto crítico em , que é um ponto de sela.

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