Encontre e classifique o(s) ponto(s) crítico(s) da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e classificar os pontos críticos da função
. Isso faz parte de cálculo, mais especificamente do estudo de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e analisar o que elas nos dizem sobre os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Um ponto crítico ocorre onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Ou seja, precisamos resolver o sistema de equações onde
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da função:
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero e resolver o sistema de equações:
Da segunda equação, já sabemos que
. Substituindo esse valor na primeira equação:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 5
Agora que encontramos o ponto crítico, vamos classificá-lo usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as seguintes derivadas segundas:
Calculamos também o discriminante
:
Segundo o teste da segunda derivada:
- Se
e , é um ponto de mínimo. - Se
e , é um ponto de máximo. - Se
, é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
, então o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
A função
tem um ponto crítico em
, que é um ponto de sela.
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