Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
110) integral x^5+x^4-8x^3-4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa é uma integral que envolve frações racionais, ou seja, um polinômio dividido por outro polinômio. Para resolver, vamos precisar usar dois métodos principais: divisão polinomial e frações parciais. Vamos por partes para facilitar!

Passo 2

Primeiro, observe que o grau do polinômio no numerador ( (x^5 + x^4 - 8) - (x^5 - 4x^3) = x^4 + 4x^3 - 8 ) é maior que o do denominador ( x^5 + x^4 - 8x^3 - 4x = x^2 + x + 4 + 4x^2 + 16x - 8x^3 - 4x ). Isso indica que precisamos fazer uma divisão polinomial antes de qualquer outra coisa. A ideia é dividir o numerador pelo denominador para simplificar a expressão.
Vamos dividir por :
  1. Divida o primeiro termo do numerador pelo primeiro termo do denominador: .
  2. Multiplique o denominador pelo resultado: .
  3. Subtraia esse resultado do numerador:
  4. Repita o processo com o novo polinômio :
    • Subtraindo:
  5. Mais uma vez:
    • Subtraindo:
Agora, o grau do resto é menor que o do denominador , então paramos aqui. Então, nossa divisão fica:

Passo 3

Agora que fizemos a divisão, precisamos integrar a expressão resultante:
integral ( x^2 + x + 4 + 4x^2 + 16x - 8x^3 - 4x ) dx
Vamos separar a integral:
integral x^2 , dx + integral x , dx + integral 4 , dx + integral 4x^2 + 16x - 8x^3 - 4x , dx
As três primeiras integrais são diretas. Vamos calcular:
  1. x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)
  2. 4x^2 + 16x - 8x(x - 2)(x + 2) = Ax + Bx - 2 + Cx + 2
  3. 4x^2 + 16x - 8 = A(x - 2)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x - 2)
Agora, resta a última integral 4x^2 + 16x - 8 = A(x^2 - 4) + Bx^2 + 2Bx + Cx^2 - 2Cx . Para resolver isso, vamos usar o método das frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador:
4x^2 + 16x - 8 = (A + B + C)x^2 + (2B - 2C)x - 4A
Então, queremos expressar:
B + C = 2 B - C = 8
Onde 2B = 10 Rightarrow B = 5 , 5 + C = 2 Rightarrow C = -3 e 4x^2 + 16x - 8x(x - 2)(x + 2) = 2x + 5x - 2 - 3x + 2 são constantes que precisamos encontrar.
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes:
  1. (coeficiente de )
  2. (coeficiente de )
  3. (termo constante)
Resolvendo:
  • Da terceira equação:
  • Substituindo na primeira equação:
  • Da segunda equação:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo na equação :
Então, as frações parciais são:

Passo 4

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 2x , dx + integral 5x - 2 , dx - integral 3x + 2 , dx
As integrais são:
  1. 2 ln |x| + 5 ln |x - 2| - 3 ln |x + 2|
Então, juntando tudo:

Resposta

A integral x^33 + x^22 + 4x + 2 ln |x| + 5 ln |x - 2| - 3 ln |x + 2| + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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