Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
110)
110)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Essa é uma integral que envolve frações racionais, ou seja, um polinômio dividido por outro polinômio. Para resolver, vamos precisar usar dois métodos principais: divisão polinomial e frações parciais. Vamos por partes para facilitar!
Passo 2
Primeiro, observe que o grau do polinômio no numerador (
) é maior que o do denominador (
). Isso indica que precisamos fazer uma divisão polinomial antes de qualquer outra coisa. A ideia é dividir o numerador pelo denominador para simplificar a expressão.
Vamos dividir
por
:
- Divida o primeiro termo do numerador pelo primeiro termo do denominador:
. - Multiplique o denominador pelo resultado:
. - Subtraia esse resultado do numerador:
- Repita o processo com o novo polinômio
: -
-
- Subtraindo:
-
- Mais uma vez:
-
-
- Subtraindo:
-
Agora, o grau do resto
é menor que o do denominador
, então paramos aqui. Então, nossa divisão fica:
Passo 3
Agora que fizemos a divisão, precisamos integrar a expressão resultante:
Vamos separar a integral:
As três primeiras integrais são diretas. Vamos calcular:
Agora, resta a última integral
. Para resolver isso, vamos usar o método das frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, queremos expressar:
Onde
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(termo constante)
Resolvendo:
- Da terceira equação:
⇒ - Substituindo
na primeira equação: ⇒ - Da segunda equação:
⇒
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo
na equação
:
Então, as frações parciais são:
Passo 4
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
As integrais são:
Então, juntando tudo:
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Encontre e classifique o(s) ponto(s) crítico(s) da função
.
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
100)
100)
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
113)
113)
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
82)
82)