Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
110)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa é uma integral que envolve frações racionais, ou seja, um polinômio dividido por outro polinômio. Para resolver, vamos precisar usar dois métodos principais: divisão polinomial e frações parciais. Vamos por partes para facilitar!

Passo 2

Primeiro, observe que o grau do polinômio no numerador ( ) é maior que o do denominador ( ). Isso indica que precisamos fazer uma divisão polinomial antes de qualquer outra coisa. A ideia é dividir o numerador pelo denominador para simplificar a expressão.
Vamos dividir por :
  1. Divida o primeiro termo do numerador pelo primeiro termo do denominador: .
  2. Multiplique o denominador pelo resultado: .
  3. Subtraia esse resultado do numerador:
  4. Repita o processo com o novo polinômio :
    • Subtraindo:
  5. Mais uma vez:
    • Subtraindo:
Agora, o grau do resto é menor que o do denominador , então paramos aqui. Então, nossa divisão fica:

Passo 3

Agora que fizemos a divisão, precisamos integrar a expressão resultante:
Vamos separar a integral:
As três primeiras integrais são diretas. Vamos calcular:
Agora, resta a última integral . Para resolver isso, vamos usar o método das frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, queremos expressar:
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes:
  1. (coeficiente de )
  2. (coeficiente de )
  3. (termo constante)
Resolvendo:
  • Da terceira equação:
  • Substituindo na primeira equação:
  • Da segunda equação:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo na equação :
Então, as frações parciais são:

Passo 4

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
As integrais são:
Então, juntando tudo:

Resposta

A integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

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