Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
113) integral e^x d x4+e^2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral e^x , dx4+e^2x. Esse exercício está na área de cálculo, mais especificamente em técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar usar o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais simples que conhecemos como resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar u = e^x. Assim, a derivada de u em relação a x será du/dx = e^x, ou seja, du = e^x , dx. Isso é ótimo porque o numerador da nossa integral é exatamente e^x , dx, que acabamos de expressar em termos de du.

Passo 3

Agora, substituímos u na integral original. Ficamos com:
integral du4 + u^2
Essa forma é mais simples e sabemos que a integral de 1a^2 + u^2 em relação a u é 1a arctan(ua) + C, onde C é a constante de integração.

Passo 4

No nosso caso, a^2 = 4, então a = 2. Aplicando a fórmula, temos:
integral du4 + u^2 = 12 arctan(u2) + C

Passo 5

Agora, voltamos à variável original substituindo u = e^x:
12 arctan(e^x2) + C

Resposta

A integral integral e^x , dx4+e^2x é igual a:
12 arctan(e^x2) + C

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