Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e minimo locais de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a função
e precisamos descobrir em quais intervalos essa função está crescendo ou decrescendo. Além disso, vamos encontrar os valores máximos e mínimos locais dessa função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a analisar o comportamento das funções.
Passo 2
Para determinar onde a função é crescente ou decrescente, precisamos calcular a derivada de
. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde a derivada é zero ou não existe. Nesse caso, nossa derivada é um polinômio, então ela existe para todos os
. Vamos resolver
:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções:
Passo 5
Com os pontos críticos
e
, vamos dividir a reta real em intervalos para testar o sinal da derivada em cada intervalo:
Passo 6
Escolhemos um valor de teste em cada intervalo e substituímos na derivada
:
- Para
em :
Então, a função é crescente nesse intervalo.
- Para
em :
Então, a função é decrescente nesse intervalo.
- Para
em :
Então, a função é crescente nesse intervalo.
Passo 7
Agora que sabemos onde a função está crescendo ou decrescendo, podemos identificar os valores máximos e mínimos locais.
- Em
:
A derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local. - Em
:
A derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Vamos calcular esses valores:
Para
:
Para
:
Resposta
A função
é:
- Crescente nos intervalos
e - Decrescente no intervalo
Os valores máximos e mínimos locais são:
- Máximo local de
em - Mínimo local de
em
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Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e minimo locais de
.
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.
A integral
é imprópria e convergente;
Encontre os intervalos nos quais
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.