Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e minimo locais de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a função e precisamos descobrir em quais intervalos essa função está crescendo ou decrescendo. Além disso, vamos encontrar os valores máximos e mínimos locais dessa função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a analisar o comportamento das funções.

Passo 2

Para determinar onde a função é crescente ou decrescente, precisamos calcular a derivada de . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde a derivada é zero ou não existe. Nesse caso, nossa derivada é um polinômio, então ela existe para todos os . Vamos resolver :
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática , usamos a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções:

Passo 5

Com os pontos críticos e , vamos dividir a reta real em intervalos para testar o sinal da derivada em cada intervalo:

Passo 6

Escolhemos um valor de teste em cada intervalo e substituímos na derivada :
  1. Para em :
Então, a função é crescente nesse intervalo.
  1. Para em :
Então, a função é decrescente nesse intervalo.
  1. Para em :
Então, a função é crescente nesse intervalo.

Passo 7

Agora que sabemos onde a função está crescendo ou decrescendo, podemos identificar os valores máximos e mínimos locais.
  • Em :
    A derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local.
  • Em :
    A derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Vamos calcular esses valores:
Para :
Para :

Resposta

A função é:
  • Crescente nos intervalos e
  • Decrescente no intervalo
Os valores máximos e mínimos locais são:
  • Máximo local de em
  • Mínimo local de em

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