Encontre e classifique os pontos críticos das funções abaixo à partir do conceito de autovalores e a matriz hessiana.
f(x, y)=x y+2 x-ln (x^2 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função . Para isso, vamos usar dois conceitos principais: pontos críticos e a matriz hessiana com seus autovalores. Vamos precisar entender derivadas parciais, encontrar onde elas são zero e analisar a concavidade da função nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos acontecem onde as derivadas parciais da função em relação a fx = partial fpartial x = y + 2 - 2x e fy = partial fpartial y = x - 1y são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 3

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
y + 2 - 2x = 0 (1)
x - 1y = 0 (2)
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 4

Da equação (2), podemos isolar x = 1y :
y + 2 - 2y = 0
Agora, substituímos -y + 2 = 0 implies y = 2 na equação (1):
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos x = 12 , voltamos à equação :
Então, o ponto crítico é .

Passo 6

Agora, vamos classificar esse ponto crítico usando a matriz hessiana. Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 2x^2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 1y^2
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 1

Passo 7

A matriz hessiana H = fxx & fxy fxy & fyy = 2x^2 & 1 1 & 1y^2 é dada por:
H( 12, 2 ) = 2(12)^2 & 1 1 & 12^2 = 8 & 1 1 & 14
Vamos avaliar no ponto crítico :

Passo 8

Agora, vamos encontrar os autovalores da matriz hessiana para determinar a natureza do ponto crítico. Os autovalores det(H - lambda I) = 0 satisfazem a equação característica:
det( 8 - lambda & 1 1 & 14 - lambda ) = (8 - lambda)(14 - lambda) - 1 cdot 1 = 0
Para nossa matriz:
(8 - lambda)(14 - lambda) - 1 = (2 - lambda)(14 - lambda) - 1 = 0
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática resultante, encontramos os autovalores positivos.

Passo 9

Como ambos os autovalores são positivos, a matriz hessiana é definida positiva. Isso significa que o ponto crítico é um ponto de mínimo local.

Resposta

O ponto crítico é e é um ponto de mínimo local da função.

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[ll1 & 4 2 & 1]