(Simon & Blume - Exercício 7.21) As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções do sistema correspondente: (i) quando o lado direito é
, e (ii) para um lado direito geral
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz de coeficientes de um sistema de equações lineares, que é essa aqui:
O que a gente precisa descobrir é quantas soluções esse sistema tem em duas situações diferentes:
- Quando todos os termos do lado direito das equações são zero (sistema homogêneo).
- Quando os termos do lado direito podem ser qualquer número (sistema não homogêneo).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de determinantes e análise de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.
Para uma matriz 2x2, o determinante é calculado assim:
Aplicando os valores da nossa matriz:
Passo 3
Agora que sabemos que o determinante é
(que é diferente de zero), isso nos dá informações importantes sobre o sistema.
Para sistemas de equações lineares:
- Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma solução única.
- Se o determinante for zero, o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo do lado direito.
Passo 4
1. Sistema Homogêneo (
):
Como o determinante é
, o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial, que é
e
.
2. Sistema Não Homogêneo (geral
):
Novamente, como o determinante não é zero, para qualquer escolha de
e
, o sistema terá uma solução única.
Resposta
Portanto, para a matriz dada:
- Quando o lado direito é zero, o sistema tem apenas a solução trivial.
- Para qualquer lado direito geral, o sistema possui uma única solução.
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Dados os vetores
e
determinar:
b)
b)
Encontre e classifique os pontos críticos das funções abaixo à partir do conceito de autovalores e a matriz hessiana.
Dados os vetores
e
, calcular:
a)
a)
Verifique se as afirmativas abaixo são falsas ou verdadeiras, em caso de falso, justifique sua resposta.
Existe uma transformação linear que é bijetora
Existe uma transformação linear