(Simon & Blume - Exercício 7.21) As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções do sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b1=ldots=bm=0, e (ii) para um lado direito geral b1, ldots, bm ?
[ll1 & 4 2 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz de coeficientes de um sistema de equações lineares, que é essa aqui:
1 & 4 2 & 1
O que a gente precisa descobrir é quantas soluções esse sistema tem em duas situações diferentes:
  1. Quando todos os termos do lado direito das equações são zero (sistema homogêneo).
  2. Quando os termos do lado direito podem ser qualquer número (sistema não homogêneo).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de determinantes e análise de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.
Para uma matriz 2x2, o determinante é calculado assim:
det(A) = a11 cdot a22 - a12 cdot a21
Aplicando os valores da nossa matriz:
det(A) = 1 cdot 1 - 4 cdot 2 = 1 - 8 = -7

Passo 3

Agora que sabemos que o determinante é (que é diferente de zero), isso nos dá informações importantes sobre o sistema.
Para sistemas de equações lineares:
  • Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma solução única.
  • Se o determinante for zero, o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo do lado direito.

Passo 4

1. Sistema Homogêneo ( ):
Como o determinante é , o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial, que é e .
2. Sistema Não Homogêneo (geral ):
Novamente, como o determinante não é zero, para qualquer escolha de e , o sistema terá uma solução única.

Resposta

Portanto, para a matriz dada:
  1. Quando o lado direito é zero, o sistema tem apenas a solução trivial.
  2. Para qualquer lado direito geral, o sistema possui uma única solução.

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