Encontre e classifique os pontos críticos das funções abaixo à partir do conceito de autovalores e a matriz hessiana.
f(x, y)=x^4+y^4-4 x y+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e classificar os pontos críticos da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e a matriz hessiana, que envolve autovalores. Vou te guiar passo a passo para que tudo fique bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Então, vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de partial fpartial x = 4x^3 - 4y em relação a partial fpartial y = 4y^3 - 4x :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos onde a inclinação da função é nula:
4x^3 - 4y = 0 Rightarrow x^3 = y
4y^3 - 4x = 0 Rightarrow y^3 = x

Passo 5

Temos um sistema de equações:
x^3 = y
y^3 = x
Vamos substituir (y)^3 = x Rightarrow (x^3)^3 = x Rightarrow x^9 = x da primeira equação na segunda:
x^9 - x = 0 Rightarrow x(x^8 - 1) = 0
Isso simplifica para:

Passo 6

Resolvendo x = 0 ou x^8 = 1 , temos duas possibilidades:
Para , as soluções reais são e .

Passo 7

Então, os valores de são , e . Vamos encontrar os correspondentes valores de usando :
  • Se , então
  • Se , então
  • Se , então

Passo 8

Portanto, os pontos críticos são:
(0, 0), (1, 1), (-1, -1)

Passo 9

Agora, vamos classificar esses pontos usando a matriz hessiana. A hessiana é uma matriz das segundas derivadas parciais da função:
H = partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial x partial y partial^2 fpartial y partial x & partial^2 fpartial y^2

Passo 10

Calculando as segundas derivadas:
partial^2 fpartial x^2 = 12x^2
partial^2 fpartial y^2 = 12y^2
partial^2 fpartial x partial y = partial^2 fpartial y partial x = -4

Passo 11

Então, a matriz hessiana fica:
H = 12x^2 & -4 -4 & 12y^2

Passo 12

Para classificar os pontos críticos, vamos calcular os autovalores da matriz hessiana em cada ponto.

Passo 13

Começando pelo ponto H(0, 0) = 0 & -4 -4 & 0 :
det(H - lambda I) = 0 Rightarrow lambda^2 - 16 = 0 Rightarrow lambda = pm 4
Os autovalores são soluções de:
Como os autovalores têm sinais opostos, o ponto é um ponto de sela.

Passo 14

Agora, para H(1, 1) = 12 & -4 -4 & 12 :
lambda^2 - 24lambda + 128 = 0
Calculando os autovalores:
Resolvendo, obtemos e , ambos positivos. Portanto, é um ponto mínimo local.

Passo 15

Por fim, para H(-1, -1) = 12 & -4 -4 & 12 :
Os autovalores serão os mesmos de , ou seja, e , ambos positivos. Assim, também é um ponto mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são , que é um ponto de sela, e e , que são pontos mínimos locais.

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