Encontre e classifique os pontos críticos das funções abaixo à partir do conceito de autovalores e a matriz hessiana.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e classificar os pontos críticos da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e a matriz hessiana, que envolve autovalores. Vou te guiar passo a passo para que tudo fique bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Então, vamos calcular essas derivadas.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos onde a inclinação da função é nula:
Passo 5
Temos um sistema de equações:
Vamos substituir da primeira equação na segunda:
Isso simplifica para:
Passo 6
Resolvendo , temos duas possibilidades:
Para , as soluções reais são e .
Passo 7
Então, os valores de são , e . Vamos encontrar os correspondentes valores de usando :
Se , então
Se , então
Se , então
Passo 8
Portanto, os pontos críticos são:
Passo 9
Agora, vamos classificar esses pontos usando a matriz hessiana. A hessiana é uma matriz das segundas derivadas parciais da função:
Passo 10
Calculando as segundas derivadas:
partial^2 fpartial x^2 = 12x^2
partial^2 fpartial y^2 = 12y^2
partial^2 fpartial x partial y = partial^2 fpartial y partial x = -4
Passo 11
Então, a matriz hessiana fica:
H = 12x^2 & -4 -4 & 12y^2
Passo 12
Para classificar os pontos críticos, vamos calcular os autovalores da matriz hessiana em cada ponto.