(2) Sejam B1=(-1,1),(1,1) e B2=w1, w2 duas bases de R^2. Se as coordenadas de um vetor v em relação à base B2 são dadas por
[v]B2=[c 4 -1 ]
e a matriz mudança da base B1 para a base B2 é dada por
[I]B2^B1=[cc 3 & 1 -2 & -1 ]
Encontre as coordenadas de v em relação à base B1 :

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases e no espaço vetorial . Sabemos as coordenadas de um vetor em relação à base e também a matriz de mudança de base de para . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas desse vetor em relação à base .
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de base e como aplicar a matriz de mudança para converter as coordenadas de uma base para outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. A matriz de mudança de base de [v]B2 = [I]B2^B1 cdot [v]B1 para , denotada por , permite converter as coordenadas de um vetor de para . Matemáticamente, se tivermos as coordenadas de em , podemos multiplicar pela matriz para obter as coordenadas em :
No entanto, nós queremos o contrário: encontrar a partir de . Para isso, precisamos usar a inversa da matriz de mudança de base.

Passo 3

Vamos calcular a inversa da matriz [I]B2^B1 = 3 & 1 -2 & -1 . A matriz dada é:
a & b c & d
Para encontrar a inversa de uma matriz a & b c & d ^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a , usamos a fórmula:
det = (3)(-1) - (1)(-2) = -3 + 2 = -1
Calculando o determinante:
[I]B1^B2 = 1-1 -1 & -1 2 & 3 = 1 & 1 -2 & -3
Então, a inversa é:

Passo 4

Agora que temos a inversa da matriz de mudança de base, podemos encontrar [v]B1 = [I]B1^B2 cdot [v]B2 = 1 & 1 -2 & -3 cdot 4 -1 multiplicando essa matriz pelo vetor [v]B1 = (1)(4) + (1)(-1) (-2)(4) + (-3)(-1) = 4 - 1 -8 + 3 = 3 -5 :
Fazendo a multiplicação:

Resposta

As coordenadas do vetor [v]B1 = 3 -5 em relação à base são:

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