(2) Sejam
e
duas bases de
. Se as coordenadas de um vetor
em relação à base
são dadas por
e a matriz mudança da base
para a base
é dada por
Encontre as coordenadas de
em relação à base
:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases
e
no espaço vetorial
. Sabemos as coordenadas de um vetor
em relação à base
e também a matriz de mudança de base de
para
. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas desse vetor
em relação à base
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de base e como aplicar a matriz de mudança para converter as coordenadas de uma base para outra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. A matriz de mudança de base de
para
, denotada por
, permite converter as coordenadas de um vetor de
para
. Matemáticamente, se tivermos as coordenadas de
em
, podemos multiplicar pela matriz
para obter as coordenadas em
:
No entanto, nós queremos o contrário: encontrar
a partir de
. Para isso, precisamos usar a inversa da matriz de mudança de base.
Passo 3
Vamos calcular a inversa da matriz
. A matriz dada é:
Para encontrar a inversa de uma matriz
, usamos a fórmula:
Calculando o determinante:
Então, a inversa é:
Passo 4
Agora que temos a inversa da matriz de mudança de base, podemos encontrar
multiplicando essa matriz pelo vetor
:
Fazendo a multiplicação:
Resposta
As coordenadas do vetor
em relação à base
são:
Exercícios relacionados
(4) Determine se o conjunto
é L.D. ou L.I.
(b) .
(b)
Sabendo que
, calcular:
Resp: 5
Sejam
e
três vetores do
não colineares dois a dois, não nulos e linearmente dependentes.
Se for näo nulo e tal que
, onde
indica o produto escalar usual do
, então
(A)
(B)
© , para algum
.
(D) , para algum
.
(E) e
são linearmente independentes.
Se
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Encontre e classifique os pontos críticos das funções abaixo à partir do conceito de autovalores e a matriz hessiana.