Sejam v1, v2 e v3 três vetores do R^3 não colineares dois a dois, não nulos e linearmente dependentes.
Se w in R^3 for näo nulo e tal que w cdot V1=w cdot v2=0, onde cdot indica o produto escalar usual do R^3, então
(A) v1 cdot v2=0
(B) w cdot v3=0
© w=k cdot v2, para algum k in R.
(D) w=k cdot v3=0, para algum k in R.
(E) v1, v2, v3 e w são linearmente independentes.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores w cdot v1 = 0 e w cdot v2 = 0 , e no espaço . Eles não são colineares dois a dois, não são nulos e são linearmente dependentes. Além disso, temos um vetor que não é nulo e que satisfaz:
Aqui, representa o produto escalar. Nosso objetivo é descobrir qual das alternativas (A) a (E) está correta com essas informações. Para isso, vamos precisar usar conceitos de produto escalar e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, como v3 = k1 v1 + k2 v2 , e são linearmente dependentes, isso significa que pelo menos um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. Ou seja, existe algum escalar tal que:
Isso indica que está no plano formado por e .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o vetor . As equações e nos dizem que é ortogonal a e . No espaço , o conjunto de vetores que são ortogonais a dois vetores não colineares forma uma linha reta. Isso significa que deve ser paralelo a essa direção única.

Passo 4

Como w = k cdot (v1 times v2) e não são colineares, o espaço ortogonal a ambos é gerado pelo produto vetorial . Portanto, qualquer vetor que seja ortogonal a e pode ser escrito como:
para algum escalar .

Passo 5

Agora, vamos verificar as alternativas:
  • (A) : Não necessariamente. Não há informação que garanta que e sejam ortogonais.
  • (B) : Sabemos que está na direção de . Como é uma combinação linear de e , ela está no plano definido por e . Portanto, sendo ortogonal a esse plano, será ortogonal a . Então, .
  • © : Não necessariamente, já que está na direção de , não necessariamente proporcional a .
  • (D) : Incorreto, pois não precisa ser nulo e está relacionada ao produto vetorial.
  • (E) e são linearmente independentes: Errado, já que são linearmente dependentes e também está relacionado a eles.

Resposta

A alternativa correta é a (B) .

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