Sejam
e
três vetores do
não colineares dois a dois, não nulos e linearmente dependentes.
Se
for näo nulo e tal que
, onde
indica o produto escalar usual do
, então
(A)
(B)
©
, para algum
.
(D)
, para algum
.
(E)
e
são linearmente independentes.
Se
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores
,
e
no espaço
. Eles não são colineares dois a dois, não são nulos e são linearmente dependentes. Além disso, temos um vetor
que não é nulo e que satisfaz:
Aqui,
representa o produto escalar. Nosso objetivo é descobrir qual das alternativas (A) a (E) está correta com essas informações. Para isso, vamos precisar usar conceitos de produto escalar e dependência linear.
Passo 2
Primeiro, como
,
e
são linearmente dependentes, isso significa que pelo menos um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. Ou seja, existe algum escalar
tal que:
Isso indica que
está no plano formado por
e
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o vetor
. As equações
e
nos dizem que
é ortogonal a
e
. No espaço
, o conjunto de vetores que são ortogonais a dois vetores não colineares forma uma linha reta. Isso significa que
deve ser paralelo a essa direção única.
Passo 4
Como
e
não são colineares, o espaço ortogonal a ambos é gerado pelo produto vetorial
. Portanto, qualquer vetor
que seja ortogonal a
e
pode ser escrito como:
para algum escalar
.
Passo 5
Agora, vamos verificar as alternativas:
-
(A)
: Não necessariamente. Não há informação que garanta que e sejam ortogonais. -
(B)
: Sabemos que está na direção de . Como é uma combinação linear de e , ela está no plano definido por e . Portanto, sendo ortogonal a esse plano, será ortogonal a . Então, . -
©
: Não necessariamente, já que está na direção de , não necessariamente proporcional a . -
(D)
: Incorreto, pois não precisa ser nulo e está relacionada ao produto vetorial. -
(E)
e são linearmente independentes: Errado, já que são linearmente dependentes e também está relacionado a eles.
Resposta
A alternativa correta é a (B)
.
Exercícios relacionados
(2) Sejam
e
duas bases de
. Se as coordenadas de um vetor
em relação à base
são dadas por
e a matriz mudança da base
para a base
é dada por
Encontre as coordenadas de
em relação à base
:
(4) Determine se o conjunto
é L.D. ou L.I.
(b) .
(b)
Encontre e classifique os pontos críticos das funções abaixo à partir do conceito de autovalores e a matriz hessiana.
Sabendo que
, calcular:
Resp: 2