Encontre e classifique os pontos críticos das funções abaixo à partir do conceito de autovalores e a matriz hessiana.
f(x, y)=1-x^2+4 x y-y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar e classificar os pontos críticos da função usando autovalores e a matriz hessiana. Isso envolve derivadas parciais, encontrar onde elas são zero (pontos críticos) e analisar a matriz hessiana nesses pontos para ver se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de fx = partial fpartial x = -2x + 4y em relação a fy = partial fpartial y = 4x - 2y e .

Passo 3

Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo o sistema onde -2x + 4y = 0 (1) e 4x - 2y = 0 (2) :
- x + 2y = 0 Rightarrow x = 2y
4(2y) - 2y = 0 Rightarrow 8y - 2y = 0 Rightarrow 6y = 0 Rightarrow y = 0
Podemos simplificar a equação (1) dividindo por 2:
Substituindo na equação (2):
Então, . Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 4

Vamos calcular a matriz hessiana da função H = fxx & fxy fyx & fyy . A matriz hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = -2
Calculando as segundas derivadas:
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 4
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -2
H = -2 & 4 4 & -2
Então, a matriz hessiana é:

Passo 5

Para classificar o ponto crítico usando autovalores, encontramos os autovalores da matriz hessiana det -2 - lambda & 4 4 & -2 - lambda = 0 .
Vamos resolver o determinante (-2 - lambda)^2 - (4)(4) = 0 :
(4 + 4lambda + lambda^2) - 16 = 0
Calculando o determinante:
lambda^2 + 4lambda - 12 = 0
lambda = -4 pm raiz16 + 482 = -4 pm raiz642 = -4 pm 82
lambda1 = 42 = 2
Resolvendo a equação quadrática:
lambda2 = -122 = -6
Então, os autovalores são:

Passo 6

Com um autovalor positivo ( ) e um negativo ( ), o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico da função é e ele é um ponto de sela.

Exercícios relacionados

Calcular a a b de modo que sejum colineates os pontos A(3,1,-2), B(1,5,1) a C(a, b, 7 7.
Determinar a extremidade do scgmento que representa o vetor v=(2,-5), sabendo que sua origem é o ponto A(-1,3).
Supondo B=[ll1 & 3 2 & 7], através da definição de matriz inversa, determinar:
B^-1;
Supondo B=[ll1 & 3 2 & 7], através da definição de matriz inversa, determinar:
Compare (B^t)^-1 e B^-1.