Encontre e classifique os pontos críticos das funções abaixo à partir do conceito de autovalores e a matriz hessiana.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar e classificar os pontos críticos da função
usando autovalores e a matriz hessiana. Isso envolve derivadas parciais, encontrar onde elas são zero (pontos críticos) e analisar a matriz hessiana nesses pontos para ver se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo o sistema onde
e
:
Podemos simplificar a equação (1) dividindo por 2:
Substituindo
na equação (2):
Então,
. Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Vamos calcular a matriz hessiana da função
. A matriz hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais:
Calculando as segundas derivadas:
Então, a matriz hessiana é:
Passo 5
Para classificar o ponto crítico usando autovalores, encontramos os autovalores da matriz hessiana
.
Vamos resolver o determinante
:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:
Passo 6
Com um autovalor positivo (
) e um negativo (
), o ponto crítico
é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico da função é
e ele é um ponto de sela.
Exercícios relacionados
Calcular a a b de modo que sejum colineates os pontos
a
.
Determinar a extremidade do scgmento que representa o vetor
, sabendo que sua origem é o ponto
.
Supondo
, através da definição de matriz inversa, determinar:
;
Supondo
, através da definição de matriz inversa, determinar:
Compare e
.
Compare