Encontre e classifique os pontos críticos das funções abaixo. ponto de máximo, mínimo ou de inflexão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar e classificar os pontos críticos das funções dadas. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe, e eles podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções e analisar os pontos onde elas se anulam ou não existem.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): . Primeiro, precisamos achar a derivada dessa função para identificar os pontos críticos.

Passo 3

A derivada de em relação a é dada por:
Agora, vamos encontrar os valores de onde :
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 6:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos dois pontos críticos:

Passo 4

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando a segunda derivada. Primeiro, calculamos a segunda derivada de :
Avaliar nos pontos críticos:
Para :
Como a segunda derivada é positiva, é um ponto de mínimo.
Para :
Como a segunda derivada é negativa, é um ponto de máximo.

Passo 5

Agora vamos para a parte (b): . Primeiro, encontramos a derivada dessa função.

Passo 6

A derivada de em relação a é:
Para achar os pontos críticos, igualamos :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 7

Vamos classificar esse ponto utilizando a segunda derivada. Primeiro, calculamos :
Avaliando em :
Como a segunda derivada é positiva, é um ponto de mínimo.

Resposta

(a) A função tem um ponto de máximo em e um ponto de mínimo em .
(b) A função tem um ponto de mínimo em .

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Calcule as integrais abaixo
Nos Exercícios de 21 a 30, estão definidas as funçöes f e g. Em cada exercício, defina as seguintes funçöes e determine o dominio da função composta:
As funções do Exercício 12.
Calcule as integrais abaixo
Sendo as matrizes e dadas abaixo:
Calcule .