Encontre e classifique os pontos críticos das funções abaixo. ponto de máximo, mínimo ou de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar e classificar os pontos críticos das funções dadas. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe, e eles podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções e analisar os pontos onde elas se anulam ou não existem.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): . Primeiro, precisamos achar a derivada dessa função para identificar os pontos críticos.
Passo 3
A derivada de em relação a é dada por:
Agora, vamos encontrar os valores de onde :
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 6:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos dois pontos críticos:
Passo 4
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando a segunda derivada. Primeiro, calculamos a segunda derivada de :
Avaliar nos pontos críticos:
Para :
Como a segunda derivada é positiva, é um ponto de mínimo.
Para :
Como a segunda derivada é negativa, é um ponto de máximo.
Passo 5
Agora vamos para a parte (b): . Primeiro, encontramos a derivada dessa função.
Passo 6
A derivada de em relação a é:
Para achar os pontos críticos, igualamos :
Então, temos um ponto crítico em .
Passo 7
Vamos classificar esse ponto utilizando a segunda derivada. Primeiro, calculamos :
Avaliando em :
Como a segunda derivada é positiva, é um ponto de mínimo.
Resposta
(a) A função tem um ponto de máximo em e um ponto de mínimo em .