Encontre e classifique os pontos críticos das funções abaixo. ponto de máximo, mínimo ou de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar e classificar os pontos críticos das funções dadas. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe, e eles podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções e analisar os pontos onde elas se anulam ou não existem.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a):
. Primeiro, precisamos achar a derivada dessa função para identificar os pontos críticos.
Passo 3
A derivada de
em relação a
é dada por:
Agora, vamos encontrar os valores de
onde
:
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 6:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos dois pontos críticos:
Passo 4
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando a segunda derivada. Primeiro, calculamos a segunda derivada de
:
Avaliar
nos pontos críticos:
Para
:
Como a segunda derivada é positiva,
é um ponto de mínimo.
Para
:
Como a segunda derivada é negativa,
é um ponto de máximo.
Passo 5
Agora vamos para a parte (b):
. Primeiro, encontramos a derivada dessa função.
Passo 6
A derivada de
em relação a
é:
Para achar os pontos críticos, igualamos
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 7
Vamos classificar esse ponto utilizando a segunda derivada. Primeiro, calculamos
:
Avaliando em
:
Como a segunda derivada é positiva,
é um ponto de mínimo.
Resposta
(a) A função
tem um ponto de máximo em
e um ponto de mínimo em
.
(b) A função
tem um ponto de mínimo em
.