Encontre e classifique os pontos criticos da seguinte função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
Isso envolve cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a
e
, achar onde elas são iguais a zero (os pontos críticos) e então classificar esses pontos para saber se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Isso significa resolver o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Primeiro, vamos resolver a segunda equação para
:
Agora, substituímos essa expressão para
na primeira equação:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Passo 6
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar os correspondentes valores de
usando
:
-
Para
: -
Para
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 7
Agora, vamos classificar esses pontos críticos. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais e usar a matriz Hessiana.
As segundas derivadas são:
A matriz Hessiana
é:
Passo 8
Vamos calcular o determinante da Hessiana, que é dado por:
E isso nos ajudará a classificar os pontos:
- Se
e , é um mínimo local. - Se
e , é um máximo local. - Se
, é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 9
Vamos primeiro para o ponto
:
Calculando as segundas derivadas:
Agora, o determinante
:
Como
e
, esse ponto é um mínimo local.
Passo 10
Agora, para o ponto
:
Calculando as segundas derivadas:
O determinante
:
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
-
– mínimo local -
– ponto de sela
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Encontre uma fórmula para
.
(a)
(a)
Resolva para
as equações:
.
(d.)
(d.)
(valor: 3,0) Mostre como obter a solução geral da equação diferencial abaixo