Encontre e classifique os pontos criticos da seguinte função

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
Isso envolve cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a e , achar onde elas são iguais a zero (os pontos críticos) e então classificar esses pontos para saber se são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Isso significa resolver o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 4

Primeiro, vamos resolver a segunda equação para :
Agora, substituímos essa expressão para na primeira equação:

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática . Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:

Passo 6

Agora que temos os valores de , vamos encontrar os correspondentes valores de usando :
  1. Para :
  2. Para :
Então, os pontos críticos são e .

Passo 7

Agora, vamos classificar esses pontos críticos. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais e usar a matriz Hessiana.
As segundas derivadas são:
A matriz Hessiana é:

Passo 8

Vamos calcular o determinante da Hessiana, que é dado por:
E isso nos ajudará a classificar os pontos:
  • Se e , é um mínimo local.
  • Se e , é um máximo local.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 9

Vamos primeiro para o ponto :
Calculando as segundas derivadas:
Agora, o determinante :
Como e , esse ponto é um mínimo local.

Passo 10

Agora, para o ponto :
Calculando as segundas derivadas:
O determinante :
Como , esse ponto é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  1. mínimo local
  2. ponto de sela

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