Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas: hipociclóide
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para reparametrizar pelo comprimento de arco a curva hipociclóide dada por no intervalo
. O conteúdo envolvido aqui é o Comprimento de Arco e Reparametrização de curvas. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da posição em relação a
, encontrar o comprimento de arco
e então expressar a curva em termos de
em vez de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Isso nos dará
, que é essencial para calcular a velocidade da curva.
Passo 3
Vamos derivar cada componente:
- Para
:
- Para :
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a norma de
, que representa a velocidade da curva:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar o comprimento de arco
, integramos a norma da derivada de
de 0 até
:
Vamos resolver essa integral. Note que:
Então,
Passo 6
Agora, precisamos expressar
em função de
. A partir da equação:
Resolvendo para :
E então,
Passo 7
Finalmente, substituímos
na expressão original de
:
Resposta
A reparametrização pelo comprimento de arco da hipociclóide é:
Exercícios relacionados
Encontre uma fórmula para
.
(a)
(a)
Resolva para
as equações:
.
(c.)
(c.)
Encontre e classifique os pontos criticos da seguinte função
Resolva para
as equações:
.
(d.)
(d.)