Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas: hipociclóide

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para reparametrizar pelo comprimento de arco a curva hipociclóide dada por no intervalo . O conteúdo envolvido aqui é o Comprimento de Arco e Reparametrização de curvas. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da posição em relação a , encontrar o comprimento de arco e então expressar a curva em termos de em vez de .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Isso nos dará , que é essencial para calcular a velocidade da curva.

Passo 3

Vamos derivar cada componente:
  1. Para :
  1. Para :
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de , que representa a velocidade da curva:
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar o comprimento de arco , integramos a norma da derivada de de 0 até :
Vamos resolver essa integral. Note que:
Então,

Passo 6

Agora, precisamos expressar em função de . A partir da equação:
Resolvendo para :
E então,

Passo 7

Finalmente, substituímos na expressão original de :

Resposta

A reparametrização pelo comprimento de arco da hipociclóide é:

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Encontre uma fórmula para .
(a)
Resolva para as equações: .
(c.)
Encontre e classifique os pontos criticos da seguinte função
Resolva para as equações: .
(d.)