(valor: 3,0) Mostre como obter a solução geral da equação diferencial abaixo
y'' - 2y' + y = 4e^(2x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, a gente está lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (sem o termo da direita) com uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, a gente assume uma solução da forma . Substituindo na equação, temos:
Simplificando:
Como nunca é zero, a gente fica com a equação característica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
Essa é uma equação quadrática simples. Podemos fatorar:
Então, temos uma raiz dupla:

Passo 4

Com a raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes arbitrárias que determinam a solução específica baseada nas condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é , vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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