(valor: 3,0) Mostre como obter a solução geral da equação diferencial abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, a gente está lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (sem o termo da direita) com uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, a gente assume uma solução da forma
. Substituindo na equação, temos:
Simplificando:
Como
nunca é zero, a gente fica com a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Essa é uma equação quadrática simples. Podemos fatorar:
Então, temos uma raiz dupla:
Passo 4
Com a raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes arbitrárias que determinam a solução específica baseada nas condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é
, vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.