Encontre e classifique os pontos criticos da seguinte função
f(x, y) = x^2 + 2y^2 - x^2y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e classificar os pontos críticos da função . Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas parciais, para localizar esses pontos e depois determinar se são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Esses pontos são os pontos críticos da função.
Resolvendo :
O que nos dá duas possibilidades:
Vamos considerar cada caso separadamente.
Caso 1:
Substituindo na equação :
Então, temos o ponto crítico .
Caso 2:
Substituindo na equação :
Então, temos os pontos críticos e .

Passo 4

Agora que encontramos os pontos críticos, vamos classificá-los usando o teste da segunda derivada. Para isso, vamos calcular as segundas derivadas e o discriminante .
As segundas derivadas são:
O discriminante é dado por:
Vamos calcular para cada ponto crítico.
Para o ponto :
Além disso, , então é um mínimo local.
Para o ponto :
Como , o ponto é um ponto de sela.
Para o ponto :
Similarmente, como , o ponto também é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • que é um mínimo local.
  • que é um ponto de sela.
  • que é um ponto de sela.

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