Encontre e classifique os pontos criticos da seguinte função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e classificar os pontos críticos da função
. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas parciais, para localizar esses pontos e depois determinar se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Esses pontos são os pontos críticos da função.
Resolvendo
:
O que nos dá duas possibilidades:
Vamos considerar cada caso separadamente.
Caso 1:
Substituindo
na equação
:
Então, temos o ponto crítico
.
Caso 2:
Substituindo
na equação
:
Então, temos os pontos críticos
e
.
Passo 4
Agora que encontramos os pontos críticos, vamos classificá-los usando o teste da segunda derivada. Para isso, vamos calcular as segundas derivadas e o discriminante
.
As segundas derivadas são:
O discriminante
é dado por:
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Para o ponto
:
Além disso,
, então
é um mínimo local.
Para o ponto
:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Para o ponto
:
Similarmente, como
, o ponto
também é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
-
que é um mínimo local. -
que é um ponto de sela. -
que é um ponto de sela.
Exercícios relacionados
§
.
(f)
.
(z)
.
(f)
.