(z) lim x 0[1+sen(x)]^1x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Precisamos calcular o limite . Esse problema envolve o estudo de limites em funções exponenciais e trigonométricas. Para resolvê-lo, vamos precisar usar propriedades de limites, a expansão da função seno e a definição da constante .

Passo 2

Vamos começar observando que 1 + sen(x) approx 1 + x , para valores de próximos a zero, pode ser aproximado por . Isso porque, para pequenos valores de , temos . Assim, a expressão dentro do limite fica aproximadamente:

Passo 3

Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
lim x 0[1+x]^1x

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite e = limx to 0 (1 + x)^1x . Esse é um limite clássico que define a constante matemática . A definição de é justamente:

Passo 5

Portanto, concluímos que:
lim x 0[1+x]^1x = e

Resposta

O limite é igual a .

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