Se uma função contínua de uma variável tem exatamente um extremo relativo em um intervalo, então esse extremo relativo é um extremo absoluto no intervalo. Este exercício mostra que esse resultado não se estende a funções de duas variáveis.
Use um recurso computacional para esboçar o gráfico .

Passo 1

Estamos lidando com um exercício de cálculo que compara funções de uma variável com funções de duas variáveis, especificamente sobre extremos relativos e absolutos. A ideia é mostrar que, enquanto para funções de uma variável um único extremo relativo garante que ele também é absoluto no intervalo considerado, isso não acontece para funções de duas variáveis. Para ilustrar isso, vamos usar uma ferramenta computacional para esboçar o gráfico da função .

Passo 2

Vamos escolher uma função simples de duas variáveis que tenha exatamente um ponto crítico, mas que não seja um extremo absoluto. Uma boa candidata é a função hiperboloide de uma folha:
Essa função possui um ponto crítico em .

Passo 3

Antes de esboçar o gráfico, vamos entender o que significa ter um ponto crítico em funções de duas variáveis. Um ponto crítico ocorre onde as derivadas parciais da função em relação a e são zero:
Resolvendo, encontramos que e , então o único ponto crítico é . No entanto, esse ponto não é um extremo absoluto, mas sim um ponto de sela, onde a função não atinge um máximo ou mínimo absoluto no plano.

Passo 4

Para esboçar o gráfico dessa função, podemos usar uma ferramenta como o GeoGebra ou Python com a biblioteca Matplotlib. Vou mostrar um exemplo de como fazer isso usando Python:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Define a função
def f(x, y):
    return x**2 - y**2

# Cria uma grade de valores para x e y
x = np.linspace(-10, 10, 400)
y = np.linspace(-10, 10, 400)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = f(X, Y)

# Cria o gráfico 3D
fig = plt.figure(figsize=(8,6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis')

# Define rótulos
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z = x² - y²')

plt.show()
Esse código cria um gráfico tridimensional da função , mostrando como ela se comporta no plano.

Passo 5

Ao observar o gráfico gerado, notar que a função possui um ponto de sela em . Isso significa que, embora seja o único ponto crítico, não é nem um máximo nem um mínimo absoluto. Em outras direções, a função tende ao infinito positivo ou negativo, dependendo de como nos movemos no plano . Isso demonstra que, diferentemente do caso de uma variável, uma função de duas variáveis pode ter um único ponto crítico que não é um extremo absoluto.

Resposta

Utilizamos a função para mostrar que, em funções de duas variáveis, um único ponto crítico pode não ser um extremo absoluto. O gráfico gerado ilustra um ponto de sela, confirmando que o resultado para funções de uma variável não se estende para funções de duas variáveis.

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