Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva x^2 y^2 = 3 x y - 4 no ponto P(1,1).

Passo 1

Aqui, a gente precisa encontrar o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos utilizar a derivação implícita, que nos ajuda a encontrar a derivada quando a equação não está isolada em termos de y.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia durante a derivação.
Derivando o lado esquerdo :
Aqui, usamos a regra do produto: derivamos mantendo constante e depois derivamos mantendo constante.
Derivando o lado direito :
Novamente, aplicamos a regra do produto para e .
Derivando a constante :
Então, a equação derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos isolar para encontrar o coeficiente angular da reta tangente.
Primeiro, vamos reunir os termos que contêm de um lado:
Fatorando :
Isolando :

Passo 4

Finalmente, substituímos os valores do ponto na expressão para :

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto é .

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