Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva
no ponto
.
Passo 1
Aqui, a gente precisa encontrar o coeficiente angular da reta tangente à curva
no ponto
. Para isso, vamos utilizar a derivação implícita, que nos ajuda a encontrar a derivada
quando a equação não está isolada em termos de y.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia durante a derivação.
Derivando o lado esquerdo
:
Aqui, usamos a regra do produto: derivamos
mantendo
constante e depois derivamos
mantendo
constante.
Derivando o lado direito
:
Novamente, aplicamos a regra do produto para
e
.
Derivando a constante
:
Então, a equação derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos isolar
para encontrar o coeficiente angular da reta tangente.
Primeiro, vamos reunir os termos que contêm
de um lado:
Fatorando
:
Isolando
:
Passo 4
Finalmente, substituímos os valores do ponto
na expressão para
:
Resposta
O coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto
é
.