Sejam
e
soluções da equação
Se
é o Wronskiano de
e
, mostre que
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
E duas soluções
e
dessa equação. O exercício pede para mostrar que o Wronskiano
dessas soluções satisfaz:
Vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele se relaciona com as soluções da equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções
e
, o Wronskiano é dado por:
Ele nos dá uma medida de quão “independente” são as soluções
e
.
Passo 3
Agora, vamos derivar o Wronskiano em relação a
:
Simplificando, temos:
Passo 4
Sabemos que
e
são soluções da equação diferencial:
Podemos rearranjar essa equação para expressar
:
Passo 5
Vamos substituir
e
na expressão do
:
Distribuindo os termos:
Os termos
e
se cancelam, sobrando:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados da equação por
:
Rearranjando para obter a expressão desejada: