Sejam y1 e y2 soluções da equação
a2(x) y'' + a1(x) y' + a2(x) y = 0
Se W é o Wronskiano de y1 e y2, mostre que
a2(x) dW/dx + a1(x) W = 0

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
E duas soluções e dessa equação. O exercício pede para mostrar que o Wronskiano dessas soluções satisfaz:
Vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele se relaciona com as soluções da equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções e , o Wronskiano é dado por:
Ele nos dá uma medida de quão “independente” são as soluções e .

Passo 3

Agora, vamos derivar o Wronskiano em relação a :
Simplificando, temos:

Passo 4

Sabemos que e são soluções da equação diferencial:
Podemos rearranjar essa equação para expressar :

Passo 5

Vamos substituir e na expressão do :
Distribuindo os termos:
Os termos e se cancelam, sobrando:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados da equação por :
Rearranjando para obter a expressão desejada:

Resposta

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