Encontre os pontos críticos e intervalos de crescimento e de decrescimento da função: f(x) = x^3/3 + x^2/2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar os pontos críticos e os intervalos de crescimento e de decrescimento dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada da função , que nos dá a taxa de variação de em relação a . A derivada nos ajuda a identificar onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :
Então, .

Passo 4

Os pontos críticos ocorrem onde a derivada é igual a zero ou não existe. Neste caso, a derivada é um polinômio que sempre existe, então vamos resolver :
Portanto, as soluções são e . Esses são os pontos críticos.

Passo 5

Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, analisamos o sinal da derivada em cada intervalo determinado pelos pontos críticos.
Os pontos críticos dividem a reta numérica em três intervalos:

Passo 6

Vamos escolher um número de teste em cada intervalo para determinar o sinal de :
  1. Para , digamos :
A derivada é positiva, então a função está crescente nesse intervalo.
  1. Para , digamos :
A derivada é negativa, então a função está decrescente nesse intervalo.
  1. Para , digamos :
A derivada é positiva, então a função está crescente nesse intervalo.

Resposta

Os pontos críticos da função são e . A função está crescente nos intervalos e , e está decrescente no intervalo .

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