Encontre os pontos críticos e intervalos de crescimento e de decrescimento da função:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar os pontos críticos e os intervalos de crescimento e de decrescimento dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada da função
, que nos dá a taxa de variação de
em relação a
. A derivada nos ajuda a identificar onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Então,
.
Passo 4
Os pontos críticos ocorrem onde a derivada é igual a zero ou não existe. Neste caso, a derivada
é um polinômio que sempre existe, então vamos resolver
:
Portanto, as soluções são
e
. Esses são os pontos críticos.
Passo 5
Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, analisamos o sinal da derivada
em cada intervalo determinado pelos pontos críticos.
Os pontos críticos dividem a reta numérica em três intervalos:
Passo 6
Vamos escolher um número de teste em cada intervalo para determinar o sinal de
:
- Para
, digamos :
A derivada é positiva, então a função está crescente nesse intervalo.
- Para
, digamos :
A derivada é negativa, então a função está decrescente nesse intervalo.
- Para
, digamos :
A derivada é positiva, então a função está crescente nesse intervalo.
Resposta
Os pontos críticos da função são
e
. A função
está crescente nos intervalos
e
, e está decrescente no intervalo
.