Encontre os pontos críticos e intervalos de crescimento e de decrescimento da função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos e os intervalos de crescimento e de decrescimento da função
. Para isso, vamos usar a derivada, que é uma ferramenta do cálculo que nos ajuda a analisar o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada, representada por
, nos mostra a taxa de variação de
em relação a
. Vamos derivar cada termo da função:
Aplicando as regras de derivação:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de uma constante, como
, é .
Então, a derivada da função é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são os valores de
onde a derivada
é igual a zero ou não existe. No nosso caso, a derivada sempre existe, então vamos igualar a
a zero:
Resolvendo a equação:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Para determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento, vamos analisar o sinal da derivada
:
Vamos dividir a reta dos números em intervalos com base nos pontos críticos
e
:
-
Para
: - Escolha
:
A derivada é positiva, então a função está crescente nesse intervalo. - Escolha
-
Para
: - Escolha
:
A derivada é negativa, então a função está decrescente nesse intervalo. - Escolha
-
Para
: - Escolha
:
A derivada é positiva, então a função está crescente nesse intervalo. - Escolha
Resposta
Os pontos críticos da função são
e
.
A função
é:
- Crescente nos intervalos
e . - Decrescente no intervalo
.