Encontre os pontos críticos e intervalos de crescimento e de decrescimento da função: f(x) = x^3 - 12x + 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos e os intervalos de crescimento e de decrescimento da função . Para isso, vamos usar a derivada, que é uma ferramenta do cálculo que nos ajuda a analisar o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada, representada por , nos mostra a taxa de variação de em relação a . Vamos derivar cada termo da função:
Aplicando as regras de derivação:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de uma constante, como , é .
Então, a derivada da função é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são os valores de onde a derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso, a derivada sempre existe, então vamos igualar a a zero:
Resolvendo a equação:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Para determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento, vamos analisar o sinal da derivada :
Vamos dividir a reta dos números em intervalos com base nos pontos críticos e :
  1. Para :
    • Escolha :
    A derivada é positiva, então a função está crescente nesse intervalo.
  2. Para :
    • Escolha :
    A derivada é negativa, então a função está decrescente nesse intervalo.
  3. Para :
    • Escolha :
    A derivada é positiva, então a função está crescente nesse intervalo.

Resposta

Os pontos críticos da função são e .
A função é:
  • Crescente nos intervalos e .
  • Decrescente no intervalo .

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