Encontre as componentes do vetor aceleração a em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar as componentes do vetor aceleração a em coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar entender como funciona o sistema de coordenadas cilíndricas e como calcular a aceleração nesse sistema. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três coordenadas: r (distância radial do eixo z), theta (ângulo em relação ao eixo x) e z (altura ao longo do eixo z). O vetor posição r pode ser escrito como:
r = r,er + z,ez
Aqui, er e ez são os vetores unitários nas direções radial e vertical, respectivamente.

Passo 3

Para encontrar a velocidade v, derivamos o vetor posição em relação ao tempo:
v = drdt = drdt,er + r,dthetadt,etheta + dzdt,ez
Note que adicionamos a componente angular etheta, que representa a direção tangencial à trajetória.

Passo 4

Agora, para encontrar a aceleração a, derivamos a velocidade em relação ao tempo:
a = dvdt = (d^2rdt^2 - r,(dthetadt)^2)er + (r,d^2thetadt^2 + 2,drdt,dthetadt)etheta + d^2zdt^2ez
Aqui, calculamos cada componente separadamente, considerando as derivadas dos termos radiais, angulares e verticais.

Passo 5

Vamos detalhar as componentes da aceleração:
  • Componente radial ( ar):
ar = d^2rdt^2 - r,(dthetadt)^2
Essa componente considera a variação da velocidade radial e o efeito da velocidade angular sobre a aceleração radial.
  • Componente angular ( atheta):
atheta = r,d^2thetadt^2 + 2,drdt,dthetadt
Aqui, além da aceleração angular pura, temos um termo que envolve a variação da velocidade radial e angular, representando a força centrípeta.
  • Componente vertical ( az):
az = d^2zdt^2
Essa é a aceleração ao longo do eixo z, simplesmente a segunda derivada da posição vertical.

Resposta

As componentes do vetor aceleração a em coordenadas cilíndricas são:
a = (d^2rdt^2 - r,(dthetadt)^2)er + (r,d^2thetadt^2 + 2,drdt,dthetadt)etheta + d^2zdt^2ez

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