Encontre as componentes do vetor aceleração
em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar as componentes do vetor aceleração
em coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar entender como funciona o sistema de coordenadas cilíndricas e como calcular a aceleração nesse sistema. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três coordenadas:
(distância radial do eixo
),
(ângulo em relação ao eixo
) e
(altura ao longo do eixo
). O vetor posição
pode ser escrito como:
Aqui,
e
são os vetores unitários nas direções radial e vertical, respectivamente.
Passo 3
Para encontrar a velocidade
, derivamos o vetor posição em relação ao tempo:
Note que adicionamos a componente angular
, que representa a direção tangencial à trajetória.
Passo 4
Agora, para encontrar a aceleração
, derivamos a velocidade em relação ao tempo:
Aqui, calculamos cada componente separadamente, considerando as derivadas dos termos radiais, angulares e verticais.
Passo 5
Vamos detalhar as componentes da aceleração:
- Componente radial (
):
Essa componente considera a variação da velocidade radial e o efeito da velocidade angular sobre a aceleração radial.
- Componente angular (
):
Aqui, além da aceleração angular pura, temos um termo que envolve a variação da velocidade radial e angular, representando a força centrípeta.
- Componente vertical (
):
Essa é a aceleração ao longo do eixo
, simplesmente a segunda derivada da posição vertical.
Resposta
As componentes do vetor aceleração
em coordenadas cilíndricas são: