Um oscilador harmônico não amortecido satisfaz a equação de movimento
d^2 xd t^2+omega0^2 x=F(t)m
a força de impulsão é F(t)=F0 sin (omega t).
Determine a velocidade v(t) para as mesmas condições iniciais do item (a).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem um oscilador harmônico não amortecido, que é basicamente um sistema que oscila sem perder energia com o tempo. A equação de movimento desse sistema é:
d^2 xd t^2 + omega0^2 x = F(t)m
Aqui, $ \omega_0 $ é a frequência natural do oscilador, $ F(t) $ é a força que está agindo sobre ele, e $ m $ é a massa. A força de impulsão dada é $ F(t) = F_0 \sin(\omega t) $, ou seja, uma força que varia sinusoidalmente no tempo com frequência $ \omega $. O que a gente precisa encontrar é a velocidade $ v(t) $ do oscilador nas mesmas condições iniciais que foram usadas na parte (a) do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que $ v(t) $ é simplesmente a derivada da posição $ x(t) $ em relação ao tempo. Ou seja:
v(t)
Então, para encontrar $ v(t) $, precisamos primeiro descobrir $ x(t) $.

Passo 3

A equação diferencial que temos é:
d^2 xd t^2 + omega0^2 x = F0m sin(omega t)
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com um termo forçado. A solução geral dessa equação é a soma da solução da equação homogênea (quando $ F(t) = 0 $) mais uma solução particular que leva em conta a força externa.

Passo 4

Solução da Equação Homogênea:
A equação homogênea é:
d^2 xd t^2 + omega0^2 x = 0
A solução geral dessa equação é:
xh(t) = A cos(omega0 t) + B sin(omega0 t)
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que determinamos com base nas condições iniciais.

Passo 5

Solução Particular:
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ x_p(t) $ para a equação completa. Como o termo forçado é $ \sin(\omega t) $, supomos que a solução particular tem a forma:
xp(t)
Vamos derivar $ x_p(t) $ para substituir na equação original.
Primeira derivada:
sin(omega t)
Segunda derivada:
xp(t) = C sin(omega t) + D cos(omega t)

Passo 6

Substituindo $ x_p(t) $ e suas derivadas na equação diferencial:
xp(t)
Vamos rearranjar os termos:
- C omega^2 sin(omega t) - D omega^2 cos(omega t) + omega0^2 (C sin(omega t) + D cos(omega t)) = F0m sin(omega t)

Passo 7

Para que a igualdade seja válida para todos os tempos $ t $, os coeficientes dos termos $ \sin(\omega t) $ e $ \cos(\omega t) $ devem ser iguais nos dois lados da equação. Isso nos dá:
t
e
sin(omega t)
Da segunda equação, podemos ver que $ D = 0 $ (a menos que $ \omega_0 = \omega $, que é um caso de ressonância, mas vamos assumir que não é o caso aqui).
Resolvendo para $ C $:
cos(omega t)

Passo 8

Então, a solução particular é:
xp(t) = F0m (omega0^2 - omega^2) sin(omega t)

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
x(t) = A cos(omega0 t) + B sin(omega0 t) + F0m (omega0^2 - omega^2) sin(omega t)

Passo 10

Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes $ A $ e $ B $. Supondo que no tempo $ t = 0 $, a posição e a velocidade são conhecidas, digamos $ x(0) = x_0 $ e $ v(0) = v_0 $.
Substituindo $ t = 0 $ na expressão de $ x(t) $:
A
Agora, derivamos $ x(t) $ para encontrar $ v(t) $:
B
Aplicando $ t = 0 $ para encontrar $ B $:
t = 0
Resolvendo para $ B $:
x(0) = x0

Passo 11

Finalmente, substituindo $ A $ e $ B $ na expressão de $ x(t) $:
A
E a velocidade $ v(t) $ fica:
B

Resposta

A velocidade do oscilador harmônico não amortecido nas condições iniciais especificadas é:
v(t) = -x0 omega0 sin(omega0 t) + ( v0 - F0 omegam (omega0^2 - omega^2) ) cos(omega0 t) + F0 omegam (omega0^2 - omega^2) cos(omega t)

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