Um oscilador harmônico não amortecido satisfaz a equação de movimento
a força de impulsão é
.
Determine a velocidade
para as mesmas condições iniciais do item (a).
Determine a velocidade
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem um oscilador harmônico não amortecido, que é basicamente um sistema que oscila sem perder energia com o tempo. A equação de movimento desse sistema é:
Aqui, $ \omega_0 $ é a frequência natural do oscilador, $ F(t) $ é a força que está agindo sobre ele, e $ m $ é a massa. A força de impulsão dada é $ F(t) = F_0 \sin(\omega t) $, ou seja, uma força que varia sinusoidalmente no tempo com frequência $ \omega $. O que a gente precisa encontrar é a velocidade $ v(t) $ do oscilador nas mesmas condições iniciais que foram usadas na parte (a) do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que $ v(t) $ é simplesmente a derivada da posição $ x(t) $ em relação ao tempo. Ou seja:
Então, para encontrar $ v(t) $, precisamos primeiro descobrir $ x(t) $.
Passo 3
A equação diferencial que temos é:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com um termo forçado. A solução geral dessa equação é a soma da solução da equação homogênea (quando $ F(t) = 0 $) mais uma solução particular que leva em conta a força externa.
Passo 4
Solução da Equação Homogênea:
A equação homogênea é:
A solução geral dessa equação é:
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que determinamos com base nas condições iniciais.
Passo 5
Solução Particular:
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ x_p(t) $ para a equação completa. Como o termo forçado é $ \sin(\omega t) $, supomos que a solução particular tem a forma:
Vamos derivar $ x_p(t) $ para substituir na equação original.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Substituindo $ x_p(t) $ e suas derivadas na equação diferencial:
Vamos rearranjar os termos:
Passo 7
Para que a igualdade seja válida para todos os tempos $ t $, os coeficientes dos termos $ \sin(\omega t) $ e $ \cos(\omega t) $ devem ser iguais nos dois lados da equação. Isso nos dá:
e
Da segunda equação, podemos ver que $ D = 0 $ (a menos que $ \omega_0 = \omega $, que é um caso de ressonância, mas vamos assumir que não é o caso aqui).
Resolvendo para $ C $:
Passo 8
Então, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 10
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes $ A $ e $ B $. Supondo que no tempo $ t = 0 $, a posição e a velocidade são conhecidas, digamos $ x(0) = x_0 $ e $ v(0) = v_0 $.
Substituindo $ t = 0 $ na expressão de $ x(t) $:
Agora, derivamos $ x(t) $ para encontrar $ v(t) $:
Aplicando $ t = 0 $ para encontrar $ B $:
Resolvendo para $ B $:
Passo 11
Finalmente, substituindo $ A $ e $ B $ na expressão de $ x(t) $:
E a velocidade $ v(t) $ fica:
Resposta
A velocidade do oscilador harmônico não amortecido nas condições iniciais especificadas é: