Um tetraedro regular possui suas faces carregadas uniformemente com densidade de carga constante. No centro do tetraedro há uma carga. O trabalho para juntar duas faces é e para juntar uma face na presença da carga é . Qual o trabalho necessário para formar o sistema?

Passo 1

Então, temos um tetraedro regular com todas as faces carregadas de maneira uniforme e uma carga no centro. A gente precisa calcular o trabalho necessário para montar todo esse sistema. Vamos usar conceitos de eletrostática, principalmente sobre trabalho de montagem de sistemas carregados.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nas interações entre as faces carregadas. Um tetraedro tem 4 faces, e queremos ver quantas pares de faces podemos formar. Para isso, usamos a combinação de 4 elementos tomados 2 a 2, que é:
Cada par de faces trazido junto gasta um trabalho de . Então, o trabalho total para juntar todas as faces entre si é:

Passo 3

Agora, vamos considerar a interação de cada face com a carga central. Como são 4 faces, temos 4 interações diferentes. Segundo o enunciado, o trabalho para trazer uma face na presença da carga central é . Assim, o trabalho total para todas as interações entre as faces e a carga central é:

Passo 4

Para encontrar o trabalho total necessário para formar o sistema completo, somamos os trabalhos das interações entre as faces e das interações entre as faces e a carga central:

Resposta

O trabalho necessário para formar o sistema é .

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