Encontre
, nos seguintes casos:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de
. Esse problema está relacionado ao estudo de transformadas de Laplace, especificamente ao uso de frações parciais para decompor funções racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e aplicar a propriedade de frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2. Portanto:
Passo 3
Com o denominador fatorado, podemos reescrever
da seguinte forma:
Para simplificar essa expressão, vamos decompor em frações parciais. Assumimos que:
Passo 4
Nosso próximo passo é encontrar os valores de
e
. Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Agora, escolhemos valores de
que simplificam a equação. Primeiro, vamos escolher
:
Em seguida, escolhemos
:
Passo 5
Com os valores de
e
encontrados, podemos reescrever
como:
Agora, sabemos que a transformada inversa de Laplace de
é
. Aplicando isso às frações que temos:
Resposta
Portanto, a transformada inversa de
é: