Encontre o comprimento da hélice circular , do ponto ao ponto .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma hélice circular definida pela função vetorial . Precisamos encontrar o comprimento dessa hélice entre os pontos e . Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de comprimento de curva no cálculo, que envolve integração.

Passo 2

Para encontrar o comprimento da curva entre dois pontos, usamos a fórmula do comprimento de arco:
Aqui, é a derivada da função vetorial em relação a , e representa a norma (ou módulo) desse vetor.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :

Passo 4

Agora, calculamos a norma de :
Sabemos que , então:

Passo 5

Substituímos a norma na fórmula do comprimento de arco:

Passo 6

Agora, precisamos determinar os limites de integração e . Observando os pontos dados:
  • No ponto , temos , então .
  • No ponto , temos , então .

Passo 7

Integramos agora:

Resposta

O comprimento da hélice é unidades.

Exercícios relacionados

Encontre o comprimento do arco das curvas a seguir:
, para .
A Figura abaixo mostra as curvas de nível da temperatura da superfície do oceano, de uma determinada região do globo terrestre. Supondo que é aproximadamente igual a , pergunta-se:
Qual é a taxa máxima de variação da temperatura em ?
Em cada item determine se a função dada é solução da EDO dada.
(vi) .
Encontre a solução do PVI dado.
(i)