Encontre o comprimento da hélice circular
, do ponto
ao ponto
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma hélice circular definida pela função vetorial . Precisamos encontrar o comprimento dessa hélice entre os pontos
e
. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de comprimento de curva no cálculo, que envolve integração.
Passo 2
Para encontrar o comprimento da curva
entre dois pontos, usamos a fórmula do comprimento de arco:
Aqui,
é a derivada da função vetorial
em relação a
, e
representa a norma (ou módulo) desse vetor.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Passo 4
Agora, calculamos a norma de
:
Sabemos que , então:
Passo 5
Substituímos a norma na fórmula do comprimento de arco:
Passo 6
Agora, precisamos determinar os limites de integração
e
. Observando os pontos dados:
- No ponto
, temos , então . - No ponto
, temos , então .
Passo 7
Integramos agora:
Resposta
O comprimento da hélice é
unidades.