Suponha que a derivada da função seja . Em quais intervalos é crescente ou decrescente? Em quais pontos (se houver) o gráfico de assume valores máximos ou mínimos locais? Considerando , há máximos ou mínimos absolutos?

Passo 1

Vamos entender o que precisamos fazer: temos a derivada de uma função , que é . Nosso objetivo é descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo, identificar pontos onde ela atinge máximos ou mínimos locais e verificar se existem máximos ou mínimos absolutos para todo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como análise do sinal da derivada e identificação de pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função . Pontos críticos são valores de onde a derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso, é um polinômio, então ela está definida para todo . Portanto, apenas resolvemos :
Isso nos dá três soluções:
Esses são os pontos críticos onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa.

Passo 3

Agora, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado pelos pontos críticos. Isso nos ajudará a saber se a função está crescendo ou decrescendo nesses intervalos. Vamos dividir a reta real em quatro intervalos:

Passo 4

Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e calcular o sinal de :
  1. Intervalo : Escolhemos
Como , a função está decrescendo nesse intervalo.
  1. Intervalo : Escolhemos
Como , a função está crescendo nesse intervalo.
  1. Intervalo : Escolhemos
Como , a função está decrescendo nesse intervalo.
  1. Intervalo : Escolhemos
Como , a função está crescendo nesse intervalo.

Passo 5

Com base na análise dos sinais da derivada, podemos identificar os tipos de extremos locais nos pontos críticos:
  • Em : A derivada passa de negativa para positiva (decrescente para crescente), indicando um mínimo local.
  • Em : A derivada passa de positiva para negativa (crescente para decrescente), indicando um máximo local.
  • Em : A derivada passa de negativa para positiva (decrescente para crescente), indicando outro mínimo local.

Passo 6

Por fim, vamos verificar se existem máximos ou mínimos absolutos para a função em todo o domínio . Observando o comportamento da função:
  • Quando ,
  • Quando ,
Isso significa que a função não está limitada por valores máximos ou mínimos absolutos, pois ela continua aumentando ou diminuindo indefinidamente nos extremos do eixo .

Resposta

A função é decrescente nos intervalos e , e crescente nos intervalos e . O gráfico de possui um mínimo local em e , e um máximo local em . Não existem máximos ou mínimos absolutos para considerando .

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