Suponha que a derivada da função
seja
. Em quais intervalos
é crescente ou decrescente? Em quais pontos (se houver) o gráfico de
assume valores máximos ou mínimos locais? Considerando
, há máximos ou mínimos absolutos?
Passo 1
Vamos entender o que precisamos fazer: temos a derivada de uma função
, que é
. Nosso objetivo é descobrir em quais intervalos a função
está crescendo ou decrescendo, identificar pontos onde ela atinge máximos ou mínimos locais e verificar se existem máximos ou mínimos absolutos para todo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como análise do sinal da derivada e identificação de pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função
. Pontos críticos são valores de
onde a derivada
é igual a zero ou não existe. No nosso caso,
é um polinômio, então ela está definida para todo
. Portanto, apenas resolvemos
:
Isso nos dá três soluções:
Esses são os pontos críticos onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa.
Passo 3
Agora, vamos analisar o sinal da derivada
em cada intervalo determinado pelos pontos críticos. Isso nos ajudará a saber se a função está crescendo ou decrescendo nesses intervalos. Vamos dividir a reta real em quatro intervalos:
Passo 4
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e calcular o sinal de
:
- Intervalo
: Escolhemos
Como
, a função está decrescendo nesse intervalo.
- Intervalo
: Escolhemos
Como
, a função está crescendo nesse intervalo.
- Intervalo
: Escolhemos
Como
, a função está decrescendo nesse intervalo.
- Intervalo
: Escolhemos
Como
, a função está crescendo nesse intervalo.
Passo 5
Com base na análise dos sinais da derivada, podemos identificar os tipos de extremos locais nos pontos críticos:
-
Em
: A derivada passa de negativa para positiva (decrescente para crescente), indicando um mínimo local. -
Em
: A derivada passa de positiva para negativa (crescente para decrescente), indicando um máximo local. -
Em
: A derivada passa de negativa para positiva (decrescente para crescente), indicando outro mínimo local.
Passo 6
Por fim, vamos verificar se existem máximos ou mínimos absolutos para a função
em todo o domínio
. Observando o comportamento da função:
- Quando
, - Quando
,
Isso significa que a função não está limitada por valores máximos ou mínimos absolutos, pois ela continua aumentando ou diminuindo indefinidamente nos extremos do eixo
.
Resposta
A função
é decrescente nos intervalos
e
, e crescente nos intervalos
e
. O gráfico de
possui um mínimo local em
e
, e um máximo local em
. Não existem máximos ou mínimos absolutos para
considerando
.
Exercícios relacionados
Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
d)
d)
Calcule
e
para
a partir de
e usando
.
Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas duranto o intervalo de tempo especificado em cada um dos itens a seguir:
cost +2 sent, 2 sent -2 tcost
.
Seja
. Esboce o gráfico de
depois de
encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem
encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem