Um segmento
de medida 12, desloca-se de modo que
percorre o eixo das abscissas e
o das ordenadas. O ponto
é interior ao segmento
e fica situado a 8 de
. Estabeleça equação do lugar geométrico descrito pelo ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos começar! O enunciado fala sobre um segmento
com comprimento 12 que se move de tal forma que o ponto
anda pelo eixo das abscissas (eixo
) e o ponto
pelo eixo das ordenadas (eixo
). Temos um ponto
que está dentro desse segmento, a uma distância de 8 unidades de
. Nosso objetivo é encontrar a equação que descreve o caminho que
faz enquanto
se move. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como coordenadas de pontos e a fórmula de distância.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as posições dos pontos
e
em termos de coordenadas. Como
está no eixo
, podemos representá-lo como
. Da mesma forma,
está no eixo
, então sua coordenada é
.
Passo 3
Sabemos que o segmento
tem comprimento 12. Usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Como
, temos:
Essa será nossa primeira equação importante.
Passo 4
Agora, vamos pensar no ponto
. Ele está a 8 unidades de
dentro do segmento
. Isso significa que
divide
na razão
(porque
, então
). Em termos de razão, podemos dizer que
.
Passo 5
Para encontrar as coordenadas de
, usamos a fórmula da divisão de segmento em uma certa razão. Se
divide
em
, então:
Então, as coordenadas de
são
.
Passo 6
Agora, vamos relacionar
e
com
e
. Da equação das coordenadas de
:
Vamos substituir esses valores na equação
que encontramos no Passo 3.
Passo 7
Substituindo
e
na equação
:
Para simplificar, multiplicamos todos os termos por 4 para eliminar o denominador:
Passo 8
Dividindo toda a equação por 9 para simplificar ainda mais:
Essa é a equação final que descreve o lugar geométrico do ponto
.
Resposta
A equação do lugar geométrico descrito pelo ponto
é:
Exercícios relacionados
Verifique que a reta tangente da curva regular parametrizada
tem ângulo constante com a reta
.
Encontre o comprimento da(s) corda(s) focal(is) à cônica
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.
Em cada ítem abaixo determine se a afirmação dada é V (Verdadeira) ou F (Falsa), justificando brevemente a sua resposta.
Todo o sistema linear que tem variável livre tem infinitas soluções.
Todo o sistema linear que tem variável livre tem infinitas soluções.
Se
e
, encontre
.