Um segmento A B de medida 12, desloca-se de modo que A percorre o eixo das abscissas e B o das ordenadas. O ponto P=(x, y) é interior ao segmento A B e fica situado a 8 de A. Estabeleça equação do lugar geométrico descrito pelo ponto P.

Passo 1

Beleza, vamos começar! O enunciado fala sobre um segmento com comprimento 12 que se move de tal forma que o ponto anda pelo eixo das abscissas (eixo ) e o ponto pelo eixo das ordenadas (eixo ). Temos um ponto que está dentro desse segmento, a uma distância de 8 unidades de . Nosso objetivo é encontrar a equação que descreve o caminho que faz enquanto se move. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como coordenadas de pontos e a fórmula de distância.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as posições dos pontos e em termos de coordenadas. Como está no eixo , podemos representá-lo como . Da mesma forma, está no eixo , então sua coordenada é .

Passo 3

Sabemos que o segmento AB = raiz(a - 0)^2 + (0 - b)^2 = raiza^2 + b^2 tem comprimento 12. Usando a fórmula da distância entre dois pontos:
a^2 + b^2 = 144
Como , temos:
Essa será nossa primeira equação importante.

Passo 4

Agora, vamos pensar no ponto . Ele está a 8 unidades de dentro do segmento . Isso significa que divide na razão (porque , então ). Em termos de razão, podemos dizer que .

Passo 5

Para encontrar as coordenadas de x = 2 cdot 0 + 1 cdot a2 + 1 = a3 , usamos a fórmula da divisão de segmento em uma certa razão. Se y = 2 cdot b + 1 cdot 02 + 1 = 2b3 divide em , então:
Então, as coordenadas de são .

Passo 6

Agora, vamos relacionar a = 3x e b = 3y2 com e . Da equação das coordenadas de :
Vamos substituir esses valores na equação que encontramos no Passo 3.

Passo 7

Substituindo (3x)^2 + (3y2)^2 = 144 e 9x^2 + 9y^24 = 144 na equação 36x^2 + 9y^2 = 576 :
Para simplificar, multiplicamos todos os termos por 4 para eliminar o denominador:

Passo 8

Dividindo toda a equação por 9 para simplificar ainda mais:
4x^2 + y^2 = 64
Essa é a equação final que descreve o lugar geométrico do ponto .

Resposta

A equação do lugar geométrico descrito pelo ponto 4x^2 + y^2 = 64 é:

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